2192

5. КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ (КОНТРОЛЬНАЯ) РАБОТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ И ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИЯХ

5.1. Методические рекомендации к выполнению расчетно- Сграфических (контрольных) работ

При решен задач на вращательное движение твердого тела вокруг

неподв жной оси встречаются задачи двух основных типов. уравнениеПервый т п задач – дано уравнение вращательного движения твердого тела, требуется определить угловую скорость, угловое ускорение,

скорость ускорен точки твердого тела.

Алгор тм решен я такого рода задач следующий:

3.Д фференцбруя по времени угол поворота, определяем проекцию угловой скорости на осьАвращения.

4.Вычисляя вторую производную от угла поворота по времени, определяем проекцию углового ускорения на ось вращения.

5.Пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем скорость точки и ее нормальное ускорение.

6.Пользуясь выражением проекцииДуглового ускорения на ось вращения, определяем касательное ускорение точки.

7.Используя найденные нормальное и касательное ускорения, находим полное ускорение точки по величине и направлению.

Второй тип задач – задано угловое ускорение или угловая скорость твердого тела; требуется найти уравнение Ивращательного движения, скорость и ускорение точки твердого тела.

В этом случае алгоритм решения задач следующий:

1.Интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию углового ускорения на ось вращения, находим проекцию угловой скорости, произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным данным.

2.Интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию угловой скорости на ось вращения, находим уравнение вращательного движения твердого тела, произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным данным.

3.Пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем величину скорости и нормального ускорения точки.1. Выб раем с стему координат так, чтобы одна из осей совпадала с

51

4. Определяем величину касательного ускорения точки, зная проекцию углового ускорения на ось вращения, и далее находим полное ускорение точки.

Задачи на преобразование простейших движений предполагают следующую последовательность действий:

1. Исходя из условия задачи, надо выписать уравнение движения или другие кинематические соотношения для того твердого тела, движение которого известно.

2. Пользуясь формулами кинематики точки и кинематики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, найти уравнение движения другого твердого тела, которому передается движение, а также найти скорости и

вращен я от одного звена (ведущего) к другому (ведомому). Простейшие передаточные механ змы прео разуют движения:

поступательное движение во вращательное (пример – двигатель внутреннего сгорания, в котором поступательное движение поршней преобразуется во вращательное движениеДколенчатого вала);

поступательное движение в поступательное (пример – клиновой механизм).

Рассмотрим передаточный механизм, состоящий из двух колёс с параллельными осями, перпендикулярными плоскостям колёс (рис. 1). Преобразование вращения одного твёрдого телаИвокруг неподвижной оси во вращение второго твёрдого тела вокруг другой неподвижной оси осуществляют посредством зубчатого или фрикционного (за счёт сил трения) зацепления двух колёс или при помощи ременной передачи.

При внутреннем зацеплении (рис. 1,б) и нескрещивающейся ременной передаче (рис. 1,в) направления вращений обоих колёс совпадают; при внешнем зацеплении (рис. 1,а) и скрещивающейся ременной передаче (рис. 1,г) направления вращений колёс противоположны.

52

Си

Путь, бпройденный точками на ободах дисков, находящихся в зацеплении, одинаков. На этом основании запишем уравнение связи. Напомним, что длина дуги, угол поворота и радиус связаны формулой S r . Тогда для всех типов зацепления имеем условия равенства дуг

разных тел

Часто применяют соединение колёс, когда два колеса жёстко соединены друг с другом нерастяжимой нитью (цепью, ремнем).

53

5.1.2. Кинематика зубчатой передачи

Для спуска груза 4 диск 1 вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр O1 , перпендикулярно плоскости диска,

характеру вращения диска 1, следует направить в сторону движения часовой стрелки, т. к. алгебраические угловая скорость и угловое

ускорение оказались отрицательными (см. рис. 2). Тогда диски 2 и 3

будут вращаться против движения часовой стрелки за счёт зубчатой передачи.

Запишем уравнения связи. Для этого, согласно выражению (1), свяжем перемещение точек соприкосновения дисков 1 и 2, а также диска 3

54

Вычислим ускорение точки А на диске (см. рис. 2,б):

нерастяжимом канате, поэтому скорость груза 1 такая же, как скорости точек на ободе колеса 2 радиуса r2 , т.е. VВ V1 9t 2 .

55

5.2. Пример выполнения расчетно-графическойИ(контрольной)

работы «Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях»

Дано: схема плоского механизма (рис. 4); уравнение движения груза 1:

Х = 2·t2 + 2, см; радиусы колес: R2 = 50 см; r2 = 30 см; R3 = 60 см; r3 = 40

см.

Определить: кинематические характеристики точки М тела 3 в момент

времени t1 = 1 c (VM(t1) = ?; aМn (t1) = ?; aМ (t1) = ? aМ (t1) = ?).

Решение. В начальный момент времени при t0 = 0 координата X(t0) = 2·(t0)2 + 2 = 2·02 + 2 = 2 см.

56

Согласно рис. 5 вращение тела 2 происходит против хода часовой стрелки. Определим модуль ω2 угловой скорости 2 тела 2 по формуле

ω2 = VB/r2 = V/r2.

По известному модулю ω2 угловой скорости тела 2 определяется

вращение тела 3.

Определяем кинематические характеристики точки М тела 3 в момент

58

5.3. Варианты расчетно-графической (контрольной) работы «Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях»

По условию этого задания требуется определить скорость и ускорение

59

60