2192
.pdf3. ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ (КОНТРОЛЬНАЯ) РАБОТА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА
|
3.1. Методические рекомендации к выполнению |
|
||
|
расчетно-графической (контрольной) работы |
|
||
С |
|
|
|
|
1. |
Записать условие задачи. |
|
|
|
2. |
Выдел ть объект равновесия, то есть тело, равновесие которого |
|||
следует рассматр вать для нахождения реакций опор. |
|
|||
реакциями |
|
тело |
||
3. |
Выяв ть |
зобразить на рисунке все действующие на |
||
активные с лы. |
|
|
|
|
4. |
Установ ть наложенные на тело связи. |
|
||
5. |
Ввести с стему декартовых координат, если это необходимо для |
|||
решен |
задачи. |
|
|
|
6. |
б |
|
||
Освобод ть тело от связей и действия этих связей заменить |
||||
|
связей. |
|
|
|
7. |
Нап сать для выявленной системы сил уравнения равновесия, в |
|||
которые войдут три уравнения проекций |
сил на координатные оси и три |
|||
|
|
А |
|
|
уравнения моментов относительно осей. |
|
|
||
8. |
Выяснить, является ли система статически определимой. |
|
||
9. |
Найти из уравнений равновесия реакции опор. |
|
||
3.2. Примеры выполнения расчетно-графической (контрольной) |
||||
|
работы «Определение реакций опор твердого тела» |
|
||
|
3.2.1. Равновесие однородной прямоугольной плиты |
|
||
Для равновесия |
пространственной |
произвольной системы |
сил |
|
|
|
|
И |
|
необходимо и достаточно, чтобы суммыДпроекций активных сил и реакций внешних связей на координатные оси системы отсчёта, а также и суммы моментов этих сил относительно соответствующих осей равнялись нулю.
Дано. Однородная прямоугольная плита расположена в горизонтальной плоскости и находится в равновесии под действием
внешних сил G и Q (рис. 1).
Плита крепится к основанию с помощью шести прямолинейных невесомых стержней, на концах которых имеются шаровые шарниры. Известны силы Q=35 кН; G=32 кН; размеры а=4 м; b=2 м; с=2 м.
Определить усилия в стержнях.
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к плите
(рис. 2).
31
С |
|
|
|
|
|
стержнемстержни1 пл той . |
|
|
|
||
б |
|
|
|||
Условно пр н мая |
растянутыми, усилия в них направим от |
||||
узлов пл ты. Угол между стержнем 3 и плитой обозначим α, между |
|||||
Коорд натные оси Oxyz расположим так, чтобы через них проходило |
|||||
больше не звестных с л. |
|
|
|
||
|
|
А |
|
||
|
|
|
Д |
|
|
Составим шесть уравнений равновесия: |
И |
||||
|
|
||||
n |
0; |
S3 cos S6 cos 0; |
|
(а) |
|
Fix |
|
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
S1 cos Q 0; |
|
(б) |
|
Fiy |
0 ; |
|
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
G S1 sin S2 S3 sin S4 S5 S6 sin 0; |
|
||
Fiz |
0 ; |
(в) |
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
32
|
|
|
Mix 0 ; |
|
G b S2 |
b S3 sin b S4 |
b 0; |
|
(г) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(д) |
|||
|
|
|
Miy 0 ; |
|
|
G a S4 a 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
a S3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Miz |
0; |
|
|
Q |
cos b 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(е) |
||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОА |
|
|
передней |
|
грани |
|
прямоугольного |
|||||||||||
|
|
Длина |
|
диагонали |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
параллелеп педа |
OA |
b2 c2 |
|
|
22 |
22 |
2,828 |
м. |
Длина |
диагонали |
|||||||||||||||||||||
ОВ |
|
|
боковой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OВ |
|
а2 c2 |
|
42 22 |
4,472 м ; |
|||||||||||||
грани |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
С2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0,894 ; |
|
|
|
|
|
|
0,707 . |
||||||||||||||||
sin |
|
4,472 |
0,447; |
|
cos |
4,472 |
sin cos |
2,283 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
хемат чно покажем план решения системы уравнений (а),…,(е): |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
(д) |
(е) |
(а) (г) (в). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
S1 |
|
S4 |
|
|
S3 |
S6 |
|
S2 |
|
S5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Из (б): S |
|
|
|
|
|
|
49,505 |
кН . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
cos |
|
|
0,707 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
А |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Из (д): S |
4 |
32 |
16 кН . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Из (е): S3 |
|
|
Qa |
|
|
|
35 4 |
|
|
78,300 кН . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b cos |
|
2 0,894 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Из (а): S6 S3 |
78,3 кН . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Из (г): S2 |
|
6 S3 sin S4 |
|
32 78,3 0,447 16 35 |
кН . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
Из (в): |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
S5 G S1 sin S2 S3 sin S4 |
S6 sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||
|
|
|
32 49,505 0,707 35 78,3Д0,447 16 78,3 0,447 54 кН. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Результаты расчетов приведены в табл. 3.1. |
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица результатов расчета |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Силы, кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
S3 |
|
|
|
S4 |
|
|
|
|
S5 |
|
S6 |
|
|||
|
|
–49,505 |
|
|
|
–35 |
|
|
|
|
|
78,3 |
|
|
|
–16 |
|
|
|
54 |
|
–78,3 |
|
||||||||
Отрицательное значение силы показывает, что данный стержень не растянут, как вначале предполагалось, а сжат.
33
3.2.2. Равновесие однородной прямоугольной пластины
Дано. Однородная прямоугольная пластина весом 200 Н прикреплена к стене при помощи шарового шарнира А и цилиндрического шарнира в точке В и удерживается в горизонтальном положении стержнем СЕ (рис.
3). Угол α = 30о.
СОпределить усилие в стержне и опорные реакции в точках А и В, если
размеры пластины b = с = 1 м.
Определен е реакций внешних связей для рассматриваемой
конструкц провод тся согласно плану решения задач статики. и б
|
Рис.3 |
Выбирается системаАотсчёта AXYZ, начало которой помещается в |
|
шаровый шарнир А. Выделяется тело, равновесие которого |
|
рассматривается. В нашем случае таким телом является однородная |
|
прямоугольная пластина, изображённая на рис. 3. |
|
К пластине в центре её тяжести прикладывается активная сила G – |
|
сила тяжести. |
Д |
Согласно аксиоме связей отбрасывают внешние связи (в точке А – |
|
шаровый шарнир, в точке В – |
цилиндрический шарнир, в точке С – |
стержень) и соответственно, показывают реакцииИсвязей: XA, YA, ZA, XB, YB, RC. Для удобства решения реакцию RC стержня разложим на составляющие, параллельные координатным осям AX, AY, AZ.
Реакцию RC·sin(α) параллельно оси AZ; реакцию RC·cos(α)·sin(β) параллельно оси AX; реакцию RC·cos(α) cos(β) параллельно оси AY.
Величина угла β находится из размеров прямоугольной пластины по формуле:
β = arctg(c/b) = arctg(1/1) = arctg(1) = 45o.
34
Таким образом, на пластину действует пространственная произвольная система сил (G, XA, YA, ZA, XB, YB, RC).
Поэтому для решения задачи записываются шесть уравнений
равновесия. |
|
|
|
|
|
|
Σ FiX |
= 0; |
– RC·cos(α)·sin(β) + XA + XB = 0; |
(1) |
|||
С |
|
|
|
|
|
|
Σ FiY |
= 0; |
YA – RC·cos(α)·cos(β) = 0; |
(2) |
|||
Σ FiZ |
= 0; |
– G + ZA + RC·sin(α) = 0; |
(3) |
|||
n |
|
|
|
|
|
|
Mix |
0 ; |
– G·(b/2) + RC·sin(α)·b + ZB·b = 0; |
(4) |
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
координатныеоси с стемы отсчёта AXYZ. |
|
(5) |
||||
Miy |
|
0 ; |
G·(c/2) – RC·sin(α)·c = 0; |
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Miz |
0; |
– XB·b = 0. |
|
(6) |
||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
||||
Полученная с стема уравнений решается в наиболее удобной |
||||||
последовательности |
определяются проекции реакций внешних связей на |
|||||
Из уравнен я (6) |
меем XB = 0. |
|
|
|||
|
|
|
А |
|
||
Из уравнен я (5) определяется модуль реакции RC: |
|
|||||
|
|
|
RC = G/(2·sin(α)) = 200/(2·0,5) = 200 Н. |
|
||
Из уравнения (4) находится ZB: |
|
|
||||
|
|
ZB = G/2 – RC·sin(α) = 200/2 – 200·0,5 = 0. |
|
|||
|
|
|
|
Д |
|
|
Из уравнения (3) вычисляется ZA: |
|
|
||||
|
|
ZA = G – RC·sin(α) = 200 – 200·0,5 = 100 Н. |
|
|||
Из уравнения (2) определяется YA: |
|
|
||||
YA = RC·cos(α)·cos(β) = 200·0,866·0,707 = 122,452 Н. |
|
|||||
Из уравнения (1) находится XA. |
И |
|||||
|
|
|||||
XA = – XB + RC·cos(α)·sin(β) = – 0 + 200·0,866·0,707 = 122,452 Н.
Результаты проведенных расчётов помещают в таблицу 3.2.
|
Таблица результатов расчета |
|
Таблица 3.2 |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекции реакций внешних связей на координатные оси |
|||||||
|
|
системы отсчёта AXYZ |
|
|
|
||
XA, Н |
YA, Н |
ZA, Н |
XB, Н |
|
ZB, Н |
RC, Н |
|
122,452 |
122,452 |
100,000 |
0,000 |
|
0,000 |
200,000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
3.3. Варианты расчетно-графической (контрольной) работы «Определение реакций опор твердого тела»
В вариантах 1 - 15 расчетно-графической (контрольной) |
работы (табл. |
3.3) рассматривается равновесие однородной прямоугольной плиты с |
|
размерами a и b и весом G. На плиту действует активная сила F, которая |
|
С |
|
параллельна соответствующей координатной оси системы отсчёта OXYZ. |
|
Требуется определить реакции внешних связей, наложенных на плиту. По |
|
условию задан я CD – невесомый стержень. В вариантах 16 – 30 |
|
рассматр вается равновесие вала, на котором установлены два круглых |
|
координатным |
Таблица 3.3 |
колеса с рад усами R1, R2. Эти колёса загружены активными силами F1 – |
|
F5. По услов ю задан я активные силы параллельны соответствующим осям с стемы отсчёта OXYZ. Требуется определить реакции
внешн х связей, наложенных на конструкцию, и величину силы F4.
Исходные данные для расчёта и определяемые величины приведены в |
||||||
табл. 3.3. |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
|
Исходные |
Определя |
||
варианта |
Расчётная схема |
|
данные |
емые |
|
|
|
|
|
|
величины |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
YA |
= ? |
|
||
|
|
|
F = 5 кН; |
|
|
|
1 |
Аa = 3 м; |
ZA |
= ? |
|
||
|
|
|
b = 2 м; |
YB = ? |
|
|
|
|
|
c = 0,2 м |
ZB |
= ? |
|
|
|
|
RC |
= ? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
|
|
|
|
YA |
= ? |
|
|
|
|
|
F = 6 кН; |
|
||
2 |
|
ИZA = ? |
|
|||
|
|
a = 3 м; |
YB |
= ? |
|
|
|
|
|
b = 2 м; |
|
||
|
|
|
XB |
= ? |
|
|
|
|
|
c = 0,2 м |
|
||
|
|
|
RC |
= ? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
36
|
|
Продолжение табл. 3.3 |
||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
С |
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|||
|
|
|
|
YA = ? |
||
|
|
|
|
F = 7 кН; |
||
|
|
|
|
ZA = ? |
||
3 |
|
|
a = 3 м; |
|||
|
|
YB = ? |
||||
|
и |
b = 2 м; |
||||
|
ZB = ? |
|||||
|
c = 0,2 м |
|||||
|
|
|
|
RC = ? |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
YA = ? |
||
|
|
|
|
F = 8 кН; |
|
|
4 |
б a = 3 м; |
ZA = ? |
||||
|
|
|
|
b = 2 м; |
YB = ? |
|
|
|
|
|
c = 0,2 м |
ZB = ? |
|
|
|
|
|
RC = ? |
||
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
И |
||
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
|
|
|
|
F = 9 кН; |
YA = ? |
|
5 |
|
|
a = 3 м; |
ZA = ? |
||
|
|
|
|
b = 2 м; |
XB = ? |
|
|
|
|
|
ZB = ? |
||
|
|
|
|
c = 0,2 м |
||
|
|
|
|
RC = ? |
||
|
|
|
|
|
||
37
|
|
|
|
Продолжение табл. 3.3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
|
|
|
|
YA = ? |
|
|
|
|
|
|
F = 10 кН; |
|
|
|
|
|
|
ZA = ? |
|
|
|
6 |
|
|
a = 3 м; |
|
|
|
и |
|
|
YB = ? |
|
|
С |
|
b = 2 м; |
XB = ? |
|
||
|
c = 0,2 м |
|
||||
|
|
б |
|
|
RC = ? |
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
|
|
|
|
|
YA = ? |
|
|
|
|
|
|
F = 4 кН; |
|
|
|
|
|
|
ZA = ? |
|
|
7 |
|
|
a = 3 м; |
|
||
|
|
YB = ? |
|
|||
|
|
Д |
|
|||
|
|
|
|
b = 2 м; |
|
|
|
|
Аc = 0,2 м |
ZB = ? |
|
||
|
|
|
|
|
RC = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
|
|
|
|
YA = ? |
|
|
|
|
|
|
F = 3 кН; |
|
|
8 |
|
ИZA = ? |
|
|||
|
|
a = 3 м; |
XB = ? |
|
||
|
|
|
|
b = 2 м; |
|
|
|
|
|
|
ZB = ? |
|
|
|
|
|
|
c = 0,2 м |
|
|
|
|
|
|
RC = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
|
|
|
|
Продолжение табл. 3.3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
||
|
|
|
|
YA = ? |
|
|||
|
|
|
|
F = 2 кН; |
|
|||
|
|
|
|
ZA |
= ? |
|
||
|
9 |
|
|
a = 3 м; |
|
|||
|
и |
|
|
|
YB |
= ? |
|
|
С |
|
b = 2 м; |
ZB |
= ? |
|
|||
|
c = 0,2 м |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
RC = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
||
|
|
|
|
F = 2 кН; |
YA = ? |
|
||
|
|
|
|
ZA |
= ? |
|
||
10 |
|
|
a = 3 м; |
|
||||
|
|
XB |
= ? |
|
||||
|
|
Д |
|
|||||
|
|
|
|
b = 2 м; |
ZB |
= ? |
|
|
|
|
|
|
c = 0,2 |
м |
|
||
|
|
|
|
RC |
= ? |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ИВ |
|
||||
|
|
|
|
G = 8 кН; |
XA = ? |
|
||
|
|
|
|
F = 5 кН; |
ZA |
= ? |
|
|
11 |
|
|
a = 3 м; |
Х |
= ? |
|
||
|
|
ZB |
= ? |
|
||||
|
|
|
|
b = 2 м; |
|
|||
|
|
|
|
RC |
= ? |
|
||
|
|
|
|
c = 0,2 |
м |
|
||
|
|
|
|
RE |
= ? |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
|
|
|
|
Продолжение табл. 3.3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
||
|
|
|
|
G = 8 кН; |
|
YA = ? |
|
|
|
|
|
|
ZA = ? |
|
|
|
|
|
|
F = 6 кН; |
|
|
|
|
|
|
|
|
YB = ? |
|
|
|
12 |
|
|
a = 3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
ZB = ? |
|
||
|
и |
|
b = 2 м; |
|
|
||
С |
|
|
RC = ? |
|
|||
|
c = 0,2 м |
|
|
||||
|
|
RE = ? |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
А |
G = 8 кН; |
|
XA = ? |
|
|
|
|
|
|
F = 4 кН; |
|
ZA = ? |
|
13 |
|
|
a = 3 м; |
|
XB = ? |
|
|
|
|
|
|
b = 2 м; |
|
ZB = ? |
|
|
|
Д |
|
|
|
||
|
|
|
|
c = 0,2 м |
|
RC = ? |
|
|
|
|
|
G = 8 кН; |
|
XA = ? |
|
|
|
|
|
|
YA = ? |
|
|
|
|
|
|
F = 10 кН; |
|
|
|
14 |
|
|
|
ZA = ? |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
Иa = 3 м; |
|
|||||
|
|
|
|
b = 2 м; |
|
XB = ? |
|
|
|
|
|
|
YB = ? |
|
|
|
|
|
|
c = 0,2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
RC = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40