2192

С

образуя угол

с вертикалью (рис. 9.7).

и

б

На каждый элементарный участок

равная

m dx a

m dx 2 x sin ,

Ф

m

k

a

k

k

k

l

l

Д

где x – координата элементарного

участка стержня dx.

А

И

Из полученной формулы видно, что эпюра сил инерции Фk является

линейной функцией х,

а равнодействующая Ф этих сил инерции проходит

через центр тяжести треугольной эпюры, т.е. приложена в точке D на

расстоянии OD 2l 3 .

По модулю равнодействующая сил инерции равна произведению

l

sin .

c

2

Чтобы убедиться в том, что сила инерции Ф является

равнодействующей силой, можно показать, что главный момент

элементарных

сил

инерции Фk стержня относительно точки D равен

нулю:

2l

2

2

3

l

l)cos 0.

M D (Фk ) Фk

3

l x cos

Фk (x

3

0

2

3l

Момент элементарных

сил

инерции

Фk

относительно центра D

С

получим

и3

2l

M

3 m

2

2l

D

l

3

0

l

m

dx 2 xsin

2l

l

x

cos .

2

l

3

После

нтегр рован я приходим к выводу о том,

что главный момент

сил

нерц

стержня

относительно

точки

D

приложения

А

M DФ 0 .

Рассмотримбдругие возможные случаи приведения сил инерции

стержня. Пусть тре уется выполнить приведение сил инерции стержня к

точке О, совпадающей с

шарниром.

ля

приведения

сил инерции

применим правило параллельного переноса силы. В точку О переносим

силу Ф из точки D и добавляем к системе пару сил, момент которой равен

моменту силы Ф относительно точки О:

M OФ Ф2 H (рис. 9.7,б).

ОА

3

В

данном

случае

стержень

находится

в

динамическом

И

стационарном равновесии под действием сил mg ,

Ф

и пары сил с

моментом M OФ.

Теперь рассмотрим вращение стержня ОА, точка О которого

находится

на расстоянии

Равнодействующая трапециевидной эпюры сил инерции стержня проходит

через центр тяжести трапеции ОАВЕ, координата которого определяется по

формуле центра тяжести трапеции (10.26)

раздела «Статика».

С

YA,

Найдём динамические реакции ХА,

ZA,

XB,

YВ

подшипников,

действующ е на ось, т. е. реакции,

возникающ е при вращении тела. Пусть

координатные

Pe ,

на тело действуют заданные силы

e

e

1

P2 ,

....,

Pn .

О означим проекции

главного

вектора

эт

х

сил

на

оси Axyz,

вращающиеся

б

Rxe ,

Rye

,

Rze .

Главные моменты относ тельно тех же

осей обознач м через M xe , M ye ,

M ze . Так

как

тело

вращается

равномерно,

то

M ze

0.

Даламбера и, присоединяя к силам, действующим на все точки тела,

соответствующие силы инерции, составим уравнения (9.12) в проекциях на

оси Axyz.

e

ДФ

В нашем случае этиАуравнения принимают вид

X A X B

Rxe

Фx

0;

Y

A

Y

Re Ф

y

0;

Z

A

Re Ф

z

0;

(9.18)

B

y

z

M e

Ф 0;

И

Y b

M

X

B

b M e

M Ф

0.

B

x

x

y

y

(так как 0 ) и мы его опускаем. Главный вектор сил инерции Ф mac .

При

const

центр масс С

имеет

только нормальное ускорение

a

cn

2h , где

h – расстояние от точки С до оси вращения.

c

c

Следовательно, направление

вектора Ф совпадает с

направлением

ОС.

хс = 0;

yс = 0;

(9.21)

J xz 0 ;

J yz 0 .

(9.22)

вращения, а условия (9.22) – что ось вращения должна быть главной осью

инерции тела для начала координат А. При одновременном выполнении

условий (9.21) и (9.22) ось Az будет главной центральной осью инерции

С

тела.

Таким образом, динамические реакции, действующие на ось

вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является

одной

з главных центральных осей инерции тела.

Этот вывод остаётся

Рассмотренная задача позволяет одновременно уяснить механический

смысл вел ч н J xz

J yz , а именно: центробежные моменты инерции J xz

и J yz

характер зуют степень

динамической

неуравновешенности

масс

тела

его вращен

вокруг оси z.

Динам ческое уравновешивание масс, уравновешивание сил инерции

представляетприсобою важную техническую задачу, которая сводится к

определен ю главных центральных осей инерции тела. Любое тело имеет,

по крайней мере, три взаимно-перпендикулярные главные центральные

оси инерции.

Докажемлюбуюследующее положение:

ось, проведенную в теле, можно

сделать главной центральной осью инерции прибавлением к телу двух

точечных масс.

Пусть для тела массой m величины х

, yс, J

xz

, J

yz

известны и не

с

равны нулю. ПрибавимАк телу две массы m1 и m2 в точках с координатами

(х1, y1, z1) и (х2, y2, z2).

Тогда из формул (9.21) и (9.22) следует, что если удовлетворить

равенства

mx

m x m

x

c

1 1

2

2

c

1

1

2 2

J xz m1x1z1 m2 x2 z2 0;

=0, т. е. Oz станет главной

центральной осью инерции.

И

смещена от центра масс на расстояние а.

Вес д ска равен Р, угловая

скорость

С

постоянна

равна ω.

Определ ть

д намические

реакции

подшипн ков А В, если ОА = ОВ = h.

Решен е. Проведём вращающиеся вместе с

телом

Oxyz так,

что ы ось Oy прошла через

оси

центр масс С д ска (см. рис. 9.9). Ось Oz будет

главной осью нерц

по отношению к точке О,

поскольку плоскость Oxy является плоскостью

симметрии диска.

Тогда

б

M 0Ф 0,

следовательно,

силы инерции приводятся к одной

равнодействующей,

АФ

2

g

Так как силы P и RФ лежат в плоскости Oyz, то реакции

подшипников лежат в этой же плоскости,

т. е. имеют составляющие YA ,

И

ZA в точке А и YB в точке В. ТогдаД, составляя на основании принципа

Даламбера для всех действующих сил и сил инерции уравнения

равновесия в проекциях на оси Oy и Oz и уравнение моментов

относительно центра А, будем иметь

RФ Y

A

–Y 0;

Z

A

– P 0 ;

Y 2h Pa RФh 0 .

B

B

Решая эти уравнения, получим

Y Pa 2

a

P ;

Y

A

Pa 2

–

a

P ;

ZA = P .

B

2g

2h

2g

2h

В дальнейшем изложении неголономные связи не рассматриваются.

При движении механической системы координаты точек и их

С

производные по времени, входящие в уравнения связей, могут зависеть от

времени. Кроме того, в уравнения связей время может входить явно,

помимо коорд нат

х производных. Связи, в уравнения которых время

явно не вход т, называются стационарными или склерономными. Если время

Связи

или

неподвижной

точке

О,

уравнение

неосвобождающей

голономной

Д

вид

А

x 2+у 2

+z 2 l 2=0,

такой же

длины, то связь (нить) будет освобождающей.

И

x 2 + у 2 + z 2 l 2 ≤ 0.

(10.3)

свободы, его возможным перемещением

является

малый

поворот на

угол δφ бесконечновокруг точки О в плоскости,

перпендикулярной оси вращения.

Концы стержня – точки

и В – должны перемещаться по дугам

АА,

ВВ. Так как эти дуги – величины бесконечно малые, то их заменяют

прямолинейными, направленными по касательным к траекториям точек

векторами sA ,

А

sB ; модули векторов вычисляют как длины дуг (рис.

10.2): δsА=OA·δφ; sB =OB·δφ.

В данном примере sA ,

sB – возможные линейные перемещения

точек; δφ – возможное угловое перемещение системы.

Д

Элементарную работу силы на возможном перемещении ее точки

приложения вычисляют по обычным формуламИдля элементарной работы,

например δA= F r =Fxδx+Fyδy+Fzδz и другим.

Для механической системы, состоящей из п точек, к которым

приложены силы, элементарная работа этих сил на каком-либо возможном

перемещении системы соответственно выразится так:

п

(10.4)

А Fk rk .

k 1

(10.5)

1. В абсолютно твердом теле точки связаны идеальными связями, под

лами реакц й связей в этом случае являются внутренние силы, для

Скоторых было доказано, что сумма элементарных работ этих сил на любых

позволяющий

неидеальные

связи превращать в

идеальные. Например,

реакцию Rk

И

касательную составляющие:

Rk

Nk Fk .

Шероховатая поверхность накладывает на

точку или тело две связи (рис. 10.3). Нормальная

связь Nk является идеальной, а неидеальную

касательную составляющую Fk переводят в

разряд задаваемых сил и вычисляют через

реакцию

нормальной

идеальной

связи:

Fk fNk .

Таким

образом,

реальная

шероховатая

неидеальная

поверхность

Рис. 10.3

превращается в идеальную связь.