2192

момент времени t1 t t эта точка занимает положение М1, имея

скорость V (рис. 4.8,а).

1

приращениеЧтобы ть

скорости V за время ∆t, перенесём

зобразa .

Средн м ускорен ем точки аср

за время ∆t называют отношение

А

V

ср

a

lim

V

dV .

t 0

t

dt

Д

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени

от скорости точки. Приращение скорости ∆V и, следовательно, среднее

ускорение aср направлено в

сторону

вогнутости траектории. Так же

dr

V

.

(4.9)

dt

С

dV

d 2r

a

dt

dt2 .

(4.10)

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то

скорость и ускорение вычисляют по формулам (4.9) и (4.10). Определение

скорости

ускорен

я точки сводится к математической задаче вычисления

первой

Для практ ческого выч сления скорости и ускорения обычно используют

кинемат

способ вв ду его компактности удобен для теоретического изложения

б

4.3. Скорость

ускорение точки при координатном способе

задания движения

4.3.1. Скорость точки в декартовых координатах

Разлож в

рад ус-вектор

А

r xi yj zk;

V Vxi Vy j Vz k ,

(4.11)

где х, у,

z

–

координаты точки

М;

i , j,k

–

единичные векторы

осей

Д

Учитывая

(4.11),

согласно

определению скорости, имеем

dr

d

И

V

(xi

yj

zk) xi

yj

zk,

dt

dt

(4.12)

здесь i , j, k

не изменяются при движении

точки М.

Точки над х, у, z означают их

производные по времени. Сравнивая (4.11)

и (4.12), получаем для проекции скорости

на декартовы оси координат следующие

формулы:

Vx

dх

х; Vy

dy

y;

Vz

dz z.

(4.13)

dt

dt

dt

С

V

x

Vy

V

Vx2

Vy2

Vz2

x2 y2 z2

;

cos(V,i )

;

cos(V,

j)

;

V

V

V

z

cos(V,k )

.

V

оси

то,

выбрав

Если точка дв жется в плоскости,

коорд нат Оx

Оy в этой плоскости, получим

z const 0;

Vz z

0;

Vy

y

; Vx x .

б

2

2

Соответственно

y

V

x

y

; cos(V

,i ) V

;

cos(V

, j) V .

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например

Оx, направляют по траектории (рис. 4.10).

Тогда

y const 0

и

z const 0 ,

следовательно,

y 0;

z 0 .

Координату точки, проекцию скорости и ее модуль определяют по

формулам x f (t);

Vx

x ;

V Vx .

Д

Пусть известны уравнения движения точки в декартовых

координатах.

На

рис.

4.7,а

показаны траектория

точки

и

несколько

векторов скорости для

И

разных моментов времени, а на рис. 4.7,б показан

С

а ахi ay j az k ,

(4.14)

где ах, ау, аz – проекции вектора ускорения на координатные оси.

огласно определению ускорения и формулам (4.11) и (4.12), имеем

dV

d

а

(Vxi

Vy j

Vz k )

xi yj

zk.

(4.15)

dt

dt

равн вая (4.14) и (4.15), получаем формулы для проекций

движущейся

ах

dV

x

x;

ау

dVy

y ;

аz

dV

z

z.

(4.16)

dt

dt

dt

б

Проекц вектора ускорения на какую-либо координатную ось равна

координаты

точки.

Ч словое значен е ускорения и косинусы углов вектора ускорения с

а

А

а

а

2

а

2

а2

x2

y2

z2 ;

х

у

z

a

x

a

z

(4.17)

cos(a,i )

a

;

cos(a,

j)

a

;

cos(a, k )

.

a

При движении точки в плоскости оси Оx и Оy выбирают в этой же

плоскости. Тогда z=const=0; аz

z 0.

Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид

a

yj;

а

х

х;

ау у.

И

Д

Соответственно

х

у

;

cos(a,i ) a

; cos(a, j)

a .

Для прямолинейного движения ось Оx направим по траектории точки.

Тогда у = const = 0;

z = const = 0 и

ау

у 0

; тогда

a x .

и

dr

ds

, равный производной от радиуса-вектора

по дуговой коорд нате, направлен по касательной к кривой в точке М.

считать проекциейалгебраическойскорости на положительное направление касательной к

хорды r

к дл не стяг вающей дуги s при стремлении её к нулю.

сторону возрастан я дуговой координаты независимо от направления

движен я точки.

. Её можно

Величина V s называется

скоростью точки

траектории, совпадающее с направлением единичного вектора .

Модуль скорости точки в данный момент времени равен первой

производной от дуговой координаты

точки по времени:

ds

(4.19)

АV s.

dt

4.4.2. Вектор кривизны. Радиус кривизны

В точке М кривой

линии

проведём

касательную (рис. 4.12).

Д

В другой близкой точке кривой М1,

И

отстоящей

от точки М на расстоянии s ,

построим

касательную

1 . Единичный

вектор характеризует в разных точках

линии направление касательной, которое

оценивают изменением угла между двумя

касательными на отрезке дуги.

По определению, вектором

кривизны

K кривой является

предел

отношения

K lim

d .

(4.20)

s 0

s

ds

На рис. 4.12 в точках и M1 показаны касательные векторы, модули

которых равны

1. Для оценки величины изменения вектора

на

дуге s

1

вектор 1

перенесём в точку М.Тогда из векторного треугольника

В свою очередь,

можно выразить

через ∆φ из

МАВ 1

.

треугольника МАВ: 1 . Таким образом, модуль вектора кривизны

из (4.20) равен

K .

(4.21)

нормали

s

СК касательным векторам ,

1 на рис. 4.12 в точках М,

М1 проведены

в в де отрезков ,

1, которые пересекаются в точке О1,

называемой

центром кр визны дуги ММ1. Величины ,

1 являются

б

радиусами кр в зны в точках М, М1.

Используя формулы геометрии и учитывая, что при s 0 ; 1

,

получим

s . Тогда из выражения

(4.21) найдём K 1 , где

–

вектор, который в пределе при ∆φ→0 совпадает с нормалью n .

Из формулы (4.20) получим окончательно

1

(4.22)

АK n .

4.5. Естественный трёхгранник

И

Для определения понятия соприкасающейся

плоскости проведем вспомогательнуюДплоскость

через две пересекающиеся прямые M

и M1 1

(рис. 4.13). Предельное положение этой

плоскости при совпадении в пределе точки М1 с

точкой

М

называют

соприкасающейся

нормаль b, называемая бинормалью. Три взаимно-перпендикулярные оси

, n , b, полож тельные направления которых совпадают с направлениями

единичных векторов

, n , b , называют естественными осями координат.

Эти оси образуют в точке М естественный трёхгранник. При движении

СМ по кр вой естественный трёхгранник движется вместе с точкой

как твёрдое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с

движущейся точкой.

б

На р с. 4.13 представлена правая естественная система координат.

Правило определен я правой системы координат заключается в том,

b ,

видеть поворот вектора к вектору n

против вращен я часовой стрелки. Термин правая система координат

з ф з ки: вправо происходит вращение буравчика,

остриё

А

при повороте оси к оси n .

Скорость точки при задании ее движения естественным способом

выражением

(4.18)

как произведение модуля скорости и

единичного касательного вектора V V .

согласно определению, есть производная

от выражения вектора скорости по времени t .

И

есть

dV

dV

d ds

a

dt

dt

V

dt

V

ds dt .

(4.23)

В соответствии с полученными ранее выражениями (4.19), (4.20),

(4.22) запишем

2

V

(4.24)

a

a

n

a ann .

a a an .

(4.25)

Из выражения (4.25) получим формулы для проекций ускорения на

С

a

dV

;

an

;

ab 0 .

(4.26)

dt

направление касательной,

Проекц ю ускорен я на положительное

нормали

совпадающую с направлением единичного вектора , называют

касательным ускорен ем, а на главную нормаль, направленную по

единичному вектору n , – нормальным ускорением. Проекция ускорения на

бинормаль, направленная по единичному вектору b , равна нулю;

бa

следовательно, ускорен е точки расположено в соприкасающейся

плоскости траектор . В этой плоскости находятся единичные векторы

касательной

главной

.

Уч тывая ортогональность векторов a

и an

(рис. 4.14),

в соответств и с уравнением (4.25)

А

имеем полное ускорение точки

a

a2 an2 ;

tg

.

(4.27)

an

an

Нормальная составляющая ускорения

всегда

Д

направлена в сторону вогнутости траектории.

Касательная составляющая a при s 0 направлена в положительную

сторону касательной, т.

е.

по направлению единичного вектора , а при

s 0 – в отрицательную, противоположно .

s 0

векторы скорости

и касательной

составляющей

.

И

ускорения направлены в одну сторону – по

вижение точки является

ускоренным в положительном направлении касательной к траектории.

При s 0 и

s 0

векторы

скорости

и касательной

составляющей

(4.25): an a2

a2 .

траектории

an .

4.7. Класс ф кац я движений точки по ускорениям её движения

Выясн м

зав с мость

характера движения от значений её

нормального

времени.

Случай 1. an 0 ; a 0 . Точка движется прямолинейно и равномерно.

б

Случай 2.

an 0 ;

a 0 .

Точка движется криволинейно и равномерно.

Модуль её ускорения

a an V 2 . Если a 0 в отдельный момент

Дd s V

Модуль её ускорения

a a

. Если an

0

в некоторый

V 0 ),

в этой

точке скорость меняет знак.

И

Случай

4.

an 0 ;

a 0 .

Точка

совершает

криволинейное

неравномерное

движение.

Модуль

её ускорения a

a2 an2 .

Если

направления

векторов V и

a совпадают,

то движение

ускоренное, в

постоянной: V const . Тогда

a dV 0 ,

и ускорение точки равно его

С

dt

нормальному ускорению a an

V 2

. Найдём уравнение равномерного

кривол нейного дв жен я. Из формулы V ds

получаем ds Vdt . Пусть

в начальный момент времени

t0

0

dt

точка находится от начала отсчёта на

точки s s0

Vt .

(4.29)

определённые

нтегралы

в

пределах,

получим

s

t

ds Vdt

ли

s0

0

б

равномерного дв жен я

в виде

А

4.7.2. Равнопеременное движение

любой формы, при котором касательное ускорение остаётся постоянным:

a

const .

Найдём закон этого движения,

считая,

что при t0

0

s s0 ;

V V0 ,

V0

Дds

где

– начальная скорость точки.

Согласно

формуле

(4.26),

dV a

, или

dV a dt . Так как

a const ,

то,

взяв

от обеих

частей

dt

последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим

И

V V0

a t .

(4.30)

dt

V0

a t или ds V0dt a tdt .

Вторично интегрируя, найдём уравнение равнопеременного движения

точки:

s s

0

V t

.

(4.31)

0

2

называется равноускоренным a

0 , а если убывает – равнозамедленным

a

0 .