2192

вокруг своей мгновенной оси вращения.

работы

только в этом случае мгновенная

ось

относительного

вращения

точку тела.

При

действ

на

твердое

тело

элементарной

силы Fk , согласно полученным формулам, имеем

M (Fk )d .

Элементарная ра ота системы сил

Д

dA

n

dA

n

n

k

k

0

0

k

k 1Аk 1 k 1

M d ,

R dr

M0 dt

R dr0

где

n

n

M

n

R

Fk ;

M 0

M 0

(Fk ) ;

M (Fk )

k 1

k 1

И

k 1

соответственно являются главным вектором и главными моментами

системы сил относительно точки О и мгновенной оси относительного

вращения, проходящей через полюс.

Таким образом,

M0

(8.19)

т. e. элементарная работа системы сил,

приложенных к свободному твердому

8.2.5. Работа силы трения

силы

трения

является

касательным к траектории движения и

противоположно

вектору

скорости точки

М приложения силы (рис.

С

8.6). Точка М перемещается по шероховатой

поверхности по криволинейной траектории.

я

определяется

по

закону

Если A F s ,

FTP

fN .

Работа с лы трен я на конечном перемещении М0М1 определяется по

M1

M1

fNds .

(8.20)

M

0

M0

TP

где s – дл на дуги М0М1, по которой перемещается точка М.

А

б8.3. Кинетическая энергия

Кинетической энергией материальной точки называют половину

произведения массы точки на квадрат ее скорости

2

T

mV

2

;

T

mV

.

(8.21)

2

2

Квадрат модуля скорости равен скалярному квадрату вектора

скорости, поэтому выражения (8.21) равноценные.

Кинетическая энергия являетсяДскалярной положительной величиной.

В СИ единицей кинетической энергии является джоуль: 1

ж=1 Н·м.

Кинетической энергией механической системы Т называют сумму

кинетических энергий всех точек механической системы, т.е.

n m V 2

n m V 2

T

k k

Иk k

.

(8.22)

k 1

2

k 1

2

формулы для кинетического момента при таком разложении абсолютного

движения, для каждой точки системы Мк (рис. 8.7) rk

rc rk .

И соответственно

Vk

Vc

Vkr ,

(8.23)

времени

k

drk

V

Сгде kr является относительной

dt

скоростью точки, так как подвижная

система

коорд нат

движется

, следовательно,

полная про зводная по

от

r

совпадает с локальной производной,

равной относ тельной скорости точки.

А

Подставляя (8.23) в выражение кинетической энергии абсолютного

движения системыб, т.е. ее движения относительно системы координат

Oxyz, из (8.22) после прео разований получаем

2

mk

Vc

Vkr Vc Vkr

T mkVk

n

n

Д

k 1

2

k 1 2

Vc2

n

n mkV 2

n

mk

kr

Vc

mkVkr

.

(8.24)

2

2

k

1

k 1

k 1

n

n

n

Преобразуем выражение Vc mkVkr

Vc mk drk Vc

d

mk rk .

dt

n

k 1

k 1

dt

k 1

Поскольку

0

,

то

третье

слагаемое

кинетической

mk r mrkr

k 1

энергии Т равно нулю. Учитывая,

что mk

m

– масса системы, и

обозначая Tc(r )

второе слагаемое в (8.24), получим

mV 2

И

T

c

Tc(r) ,

(8.25)

2

2

m V

где Tc(r)

k kr

.

2

движения системы относительно системы координат, движущейся

поступательно вместе с ее центром масс, или кинетической энергией

системы относительно центра масс. Формула (8.25) выражает теорему

Кенига: кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается

С

из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу

поступательном движении

ПриT

mk

,

(8.26)

поступательном движении твердого тела скорости всех точек

тела од наковы: Vk

V , поэтому кинетическая энергия тела равна сумме

кинетическ х энерг

й всех его точек

n m V 2

V 2 n

mV 2

k

k

2 k 1

2

k 1 2

где m – масса тела; V – скорость точки тела.

А

бнеподвижной оси

выразить по формуле

Vk

hk ,

где hk – кратчайшее расстояние от точки Мk до оси вращения; ω – угловая

скорость тела.

2

И

Тогда кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме

кинетических энергий всех точек телаД:

n

m

V 2

2

n

2

T

k

k

mk hk2

J z ,

2

2

2

k 1

k 1

2

или

T J

z

,

(8.27)

вычислять двумя способами: по теореме Кенига или при помощи

мгновенного центра скоростей. Плоское движение тела по теореме Кенига

можно рассматр вать как совокупность двух движений: поступательного

С

имеемmVc2

2

б

(р с. 8.8,а) по теореме Кенига

T

2

Jcz

2

.

(8.28)

Д

через центр масс и перпендикулярной плоскости движения (рис. 8.8,а).

Учитывая, что VC=ω·CP (P – мгновенный центрИскоростей, получаем

второй способ определения кинетической энергии твердого тела при

плоском движении (рис. 8.8,б):

T

2

(Jcz m(CP)2 ) J pz

2

,

(8.29)

2

2

С

центра скоростей.

8.3.6. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для матер альной точки массой m,

движущейся под действием силы

радиуса

m

dV

F

dt

.

Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал

б

-вектора точки dr , имеем

mdV

dr

Fdr

или

mVdV Fdr,

dr

dt

где V

= dt

– скорость точки.

Уч тывая, что

dA Fdr

– элементарная работа, получаем

А

mVdV dA .

mV 2

mVdV

d

d

,

2

2

Д

mV

2

то окончательно

d

2

dA.

(8.30)

Если обе части выражения (8.30)

И

dA

dt

mV 2

d

N .

(8.31)

dt

2

подводимой к этой точке.

Интегрируя обе части (8.30) от точки М0

до точки М, получаем

теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме

mV 2

–

mV 2

A,

(8.32)

2

2

0

Тело, имеющее силу тяжести

P ,

падает без

С

начальной скорости на пружину

изменен

Пр

к дв жению тела теорему об

к

нет ческой энергии точки

mV 2

–

mV 2

0 A .

большем

2

2

Пр мем за начальное положение тела начало его падения с высоты h,

V0=0 и при на

сжатии пружины V=0.

А

Следовательно, ра ота

=0, т.к. положительная работа падения тела с

(h+x), сила упругости – на перемещении х.

Д

Следовательно, A

P(h x)

c

x

2

0 .

2

Р

В положении статического равновесия Р=схCT, а с

.

хСТ

h x

1

x2 0 или

x2

И

Поэтому

2xСТ x 2xСТ h 0.

2xСТ

Решая это квадратное уравнение, имеем

x = x + x2

+ 2x h .

СТ

СТ

СТ

С

n 1

d

n

dV

n

dT d

n m V 2

2

k k

mkVk

k

mk akVk

2

mk

dt

Vk

dt

dt k 1

k 12

k 1

k 1

n

N e N i .

F e F i V

1

k

k

k

механической

Итак,

dT

N e

N i .

(8.33)

dt

Получена теорема

изменении кинетической энергии механической

об

системы в дифференциальной форме.

системы.

Разделим переменныеАв уравнении и выполним интегрирование левой

и правой частей:

T

t

t

N i dt ,

dT

N edt

To

0

0

T T

Ae

Ai

(8.34)

0

1 2

1 2 .

Д

Уравнение (8.34) выражает теорему об изменении кинетической

энергии системы в конечной (интегральной) форме.

И

Законы Ньютона сначала начали применяться для исследования

движения планет Солнечной системы и изучения движения свободных

С

основного уравнения динамики Ньютона стали успешно решаться задачи

движен я тел

определения реакций связей несвободной материальной

точки.

Для зучен я

движения

несвободных

механических

систем

реакции

Даламбер предлож л принцип, получивший название принципа

Даламбера, сущность которого в современном понимании заключается не

только в пр влечен

к рассмотрению дополнительных сил, называемых

силами

нерц

,

а

главным образом в применении принципа

освоб

освобождаемости от связей к механической системе и получению,

благодаря этому,

пр нц па расчета, позволяющего определять не только

При помощи акс омы

ождаемости от связей и аксиомы независимого

действ я с л уравнен я движения несвободной материальной точки

являются такими

же,

как и для

свободной

точки, если к

силам,

Ньютона.

Д

Основное уравнениеАдинамики материальной точки массой m

относительно инерциальной системы отсчёта под действием приложенных

активных сил и реакций связей имеет вид (рис. 9.1)

ma F R ,

(9.1)

где m – масса точки; a

И

– ускорение точки; F

– равнодействующая

Назовём вектором силы инерции Ф произведение массы точки на

вектор ускорения, взятое с обратным знаком:

Ф ma .

(9.2)

Если подставить силу инерции в левую часть уравнения (9.1),

Ф F R .

(9.3)

С

Как видим, применение принципа Даламбера не связано с

дополнительным привлечением к рассмотрению каких-либо фиктивных

сил.

Пр нц п

освобождаемости от

связей

позволяет превратить

внутренн е с лы с стемы в реальные действующие внешние силы. При

этом

с ла нерц

есть сила реакции, противодействующая

силам,

части F R Ф 0 .

(9.4)

приложенным к точке, которая характеризует способность массы точки

сопрот вляться

зменен ю скорости под действием всех сил правой части

уравнен я (9.3).

Уравнен ю (9.3) можно придать вид уравнения равновесия без правой

несвободной

В общем случае форма записи принципа Даламбера (9.4) для

материальной точки есть равенство нулю векторной суммы активных сил, сил

А

реакции и сил инерции

лю ые моменты времени. Форма записи уравнения

движения

материальной

точки,

по Даламберу,

в виде

Д

времени. Для решения векторного уравнения (9.4) выполняют его

проецирование на оси координат

Fx Rx Фx 0 ;

Fy Ry Фy 0 ;

Fz Rz Фz 0 .

Представленные уравнения

отражают принцип

аламбера для

И