2192

можно пр нять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

С

называют совокупность взаимосвязанных

Механ ческой с стемой

точек.

Абсолютно твердым телом (или геометрически неизменяемой

материальных

б

механической с стемой) называют механическую систему материальных

точек, расстоян я между которыми не изменяются при взаимодействии с

другими телами. Все тела в природе в той или иной мере деформируемы,

Абсолютно упругим телом в теоретической механике называют тело,

расстояние между точками которого на линии действия силы при

взаимодействии с другим телом изменяется пропорционально модулю

действующей силы. Примерами таких тел являются пружина, идеальный

газ и др. Понятие

А

силы в теоретической механике является основным и

первичным. Силой

называют меру механического действия одного тела на

другое. Сила определяется тремя

элементами: числовым

значением

(модулем), направлением и точкой приложения. За единицу модуля силы в

системе СИ принимается ньютон

(Н). Направление силы

определяют

Д

линией ее действия, т.е. прямой, вдоль которой направлена сила. Точку

выражения числового

значения силы или ее модуля используют знак

И

модуля от вектора, т.е.

F

,

P

, или те же буквы, но без знаков вектора, т.е.

При

формулировке

аксиом

предполагают, что на твердое тело или

материальную точку действуют силы,

которые

указаны

в соответствующей

аксиоме. Твердое тело или материальную

точку в общем случае считают

С

свободными, если они имеют возможность

совершать

в рассматриваемый

момент

времени

любые

перемещения

в

достаточно,

чтобы эти с лы ыли равны по модулю и действовали вдоль

одной прямой,

проходящей через точки их

приложения,

в

направлениях (рис. 1.1). Этой аксиомой устанавливается

б

силы F1 и F2

простейшая с стема с л, эквивалентная нулю. Если

находятся

равновес , то они о разуют систему сил, эквивалентную

нулю. Действ е такой системы сил на покоящееся

твердое тело

не

изменяет состоян

я покоя этого тела. ксиома справедлива и для сил,

А

приложенных к одной точке.

И

систему сил, состоящую из двух равных по модулю сил, действующих

вдоль одной прямой в противоположныхДнаправлениях и приложенных к

одной или разным точкам твердого тела в соответствии с первой аксиомой.

III. Аксиома

параллелограмма

двух сил. Две силы, действующие в

одной точке твердого тела или на одну

материальную точку, можно заменить

одной равнодействующей силой, равной

по модулю и направлению диагонали

параллелограмма,

построенного на

заданных силах (рис. 1.2). Справедливо и

обратное. Одну силу, приняв за

равнодействующую,

всегда

можно

Исторически из правила параллелограмма сил впоследствии возникла

векторная алгебра, в которой под векторами понимают любые векторные

величины (силы, скорости, ускорения и т.п.), действия над которыми

С

подчиняются единым правилам, разработанным в математике.

Векторное сложение сил F1 и F2 в математике записывают так:

R = F

+ F .

(1.2)

векторами

1

2

1

2

Если

с лы

F1

F2

направлены

по одной прямой в одну или

противоположные стороны, то векторное сложение превращается в

алгебра ческое. Модуль равнодействующей

силы R

как векторную

сумму с л выч сляют по формуле

б1 2

R =

F 2 F 2

2F

F

cos ,

(1.3)

1

2

1

2

где угол между

F и F (см. рис. 1.2),

1 2 ,

силой R и

здесь

,

2

углы

между

равнодействующей

1

соответствующими силами F и F .

Применяя теорему синусов к одному из треугольников

параллелограмма сил, определяют силы

F1

и

F2 , т.е. решают обратную

Д1 2

задачу разложения силы R на два направления:

АF F R

1

2

.

(1.4)

sin

2

sin

sin

1

Из

аксиомы

параллелограмма

сил

получают

путем

задания

угла

между

векторами

двух

сил

И

90

прямоугольную систему координат Oxy (рис.

1.3), которая является главным инструментом

в теоретической механике для исследования

плоских

систем

сил.

Модуль

равнодействующей двух сил в плоской

прямоугольной

системе

координат

определяют

по

теореме

Пифагора

В точке О приложены три произвольные

силы F1,

F2 ,

F3, не лежащие в одной

плоскости. Линии действия этих сил можно

использовать в

качестве

пространственной

косоугольной с стемы координат Оxyz.

Для

определен я

равнодействующей

таких

с л

спользуют

правило

параллелограмма. Сначала складывают две

С

F1

F2 , находящ еся в плоскости Оxy:

R*

F 2 F 2 2F F

cos

1

.

1,2

1

2

1

2

Потом складывают два вектора R1,2 и F3 , снова используют правило

силы

F 2

2R

F cos

, где

,

углы

параллелограмма с л:

R*

R2

2

1

2

1,2

3

1,2

3

между векторами соответствующих сил (см. рис. 1.4). Таким образом,

равнодействующая трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости,

равна диагоналибкосоугольного параллелепипеда, построенного на этих

силах.

+ F

+ F .

Векторная запись этого условия имеет вид R = F1

Из аксиомы параллелепипеда трех сил,

2

3

не лежащих в одной плоскости, получают

пространственную

А

прямоугольную

декартову систему координат путем задания

в

косоугольном

параллелепипеде

углов

1

90 ; 2 90 (рис. 1.5).

Д

Равнодействующая

R

трех

И

ортогональных сил, исходящих из одной

точки, равна диагонали прямоугольного

параллелепипеда, построенного на этих

силах:

2

2

2

R

Fx Fy Fz .

Разложение силы R на направления прямоугольных осей координат

выполняют с помощью двух углов 1, 2 (см. рис. 1.5):

Fx Rcos 2 cos 1 ;

Fy R cos 2 sin 1;

Fz Rsin 2 .

взаимодействия двух материальных точек равны по модулю,

противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой,

проходящей через взаимодействующие точки. Материальные точки при

этом могут взаимодействовать как через силовые поля, т.е. на расстоянии,

С

так и путем соприкосновения друг с другом. В статике эту аксиому

применяют для твердых тел. Силы взаимодействия двух твердых тел (при

взаимодейств

путем соприкосновения или на расстоянии при посредстве

силовых полей) равны по модулю и противоположны по направлению.

илы действ я

прот водействия всегда приложены к разным телам или к

условиямиравновес я с л, приложенных к твердому и деформируемому

различным

вза модействующим точкам одного и того же тела. Таким

образом, в пр роде с лы встречаются всегда по две: сила действия и

противодейств

я.

VI. Акс

ома затвердевания. Равновесие деформируемого тела не

б

наруш тся, если на него наложить дополнительное условие превращения

его в абсолютно твердое тело. Аксиома устанавливает связь между

телам. Из акс омы следует, что условия равновесия сил, приложенных к

А

твердому телу, нео ход мы и для равновесия деформируемого тела.

1.3. Несво одное твердое тело. Основные типы

связей и их реакции

Д

называют

несвободным. Все силы, действующие на несвободное твердое

тело, наряду с делением на внешние и внутренние, можно разделить на

активные (задаваемые) и реакции связей. Активные силы выражают

С

действия на твердое тело других тел, вызывающих или стремящихся

вызвать

изменение его кинематического состояния (например,

равновес

я).

связи.

правило

Для плоской с стемы сил рассмотрим восемь основных типов

связей направлен я х реакций.

б

С

Реакц я направлена перпендикулярно опорной поверхности. Это

поверхности

объясняется тем, что данная связь запрещает перемещение балки в

направлен

,

перпенд кулярном опорной поверхности, оставляя

возможным поворот вокруг шарнира, а также перекатывание на катках

вдоль этой

(шарнир В). На расчетных схемах катки можно не

показывать,

огран ч ваясь показом зазора между подвижным шарниром и

б

опорной поверхностью (шарнир А).

5.

Неподв жный

цилиндрический

шарнир

(р

с. 1.11). Реакция заменяется

двумя

вза мно-перпендикулярными

А

составляющими

X A

и

YA ,

параллельными

предварительно проведенным осям Ox и Oy.

Модуль реакции

Д

RA

X A2 YA2 .

6. Жесткая заделка

Балка АВ одним концом

1 заделана в стену (рис. 1.12, а).

И

реакции Y3, пр ложенную в точке А1, перенести параллельно самой себе в

точку А, то дополн тельно в точке А получим вертикальную силу и

б

присоед ненный момент пары сил. Таким образом, из указанных сил

три реакц и связи X , Y

, M

плоской жесткой заделки,

показанные в точке А (р с. 1.12, г), где X

= X2 ;

YА = Y1 Y3 ;

MА =

Y3

d.

А

Неизвестные реакции X2

, Y1

, Y3

и плечо d в данном случае

На расчетной схеме (рис. 1.12, г) известны силы F1

, F2 , …,

Fn и

Д

точки их приложения на консольной балке. Неизвестными являются

реакции, показанные в точке , которые определяют из трех уравнений

равновесия, записанных для плоской системы произвольных сил.

реакцией

RA , направленной перпендикулярно направляющей, и

реактивным

моментом

МA ,

соответствующим

запрещенным

С

их

Рис. 1.14

Для пространственной системы сил рассмотрим четыре основных

типа связей направлен я

реакций.

балки

1. Подш пн

изо раженный на рис. 1.15,а,

Подш пн к

качен я,

допускает

возможность поворота алки (вала) на некоторый угол вокруг осей Ox и

А

Oz, перпендикулярных оси подшипника Oy. Возможно также осевое

перемещение

.

Д

Рис. 1.15

И

Данная связь лишает балку двух степеней свободы: запрещает

перемещение вдоль осей Ox и Oz, перпендикулярных оси балки. На

расчетной схеме реакция заменяется двумя составляющими: X 0

и Z 0 (рис.

1.15,б).

С

ли

Подпятн к представляет со ой сочетание цилиндрического шарнира с

б

опорной поверхностью

плоскостью.

3. Жесткая заделка

На р с. 1.18,а

зо ражена пространственная жесткая заделка.

А

Д*

И

Данная связь лишает балку всех шести степеней

свободы в

пространстве. Реакция

приводится к равнодействующей RA , которая

определяется через ее проекции на оси ХА, YА, ZА, и к паре сил с векторным

моментом МА, проекции которого на оси

МAx, МАy, MAz.

R*

X 2

Y 2

Z 2 ;

M

A

M 2 M

2 M 2 .

A

A

A

A

Ax

Ay

Az