мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

Найдем стационарные (особые) точки, обозначив их x . По

определению, в этих точках dx =0 , следовательно, из условия dt

f (x) =0 определим стационарные значения x .

Наиболее важным свойством стационарного состояния явля ется его устойчивость. В математике существуют разные опреде ления понятия устойчивость. В дальнейшем мы будем использо вать одно из основных – устойчивость по Ляпунову.

Устойчивость определяется способностью системы самопро извольно возвращаться в стационарное состояние после внешне го возмущения, выводящего систему из стационарного состояния.

Стационарное состояние системы называется устойчивым, если при достаточно малом отклонении от стационарной точки система никогда от нее далеко не уходит. Если при выходе из ста ционарного состояния система удаляется от него, то оно является неустойчивым (рис. I.3.4).

Рис. I.3.4. Состояние А является устойчивым, так как после слабого воз мущения система будет возвращаться в точку А. Напротив, состояние В неустойчиво, если в результате слабого возмущения система отклоняет ся от точки В, она в нее не возвращается.

Стационарное состояние устойчиво, если достаточно малое возмущение всегда остается малым.

71

Математическое моделирование в почвоведении

Стационарное состояние называется неустойчивым, если малое отклонение со временем увеличивается.

Стационарное состояние называется асимптотически устой чивым, если малые отклонения от него со временем затухают.

Крупнейшим русским математиком Александром Михайло вичем Ляпуновым был предложен аналитический метод опреде ления устойчивости стационарных состояний, приложимый к ши рокому классу систем дифференциальных уравнений. Суть мето да состоит в следующем.

Пусть система отклонилась от стационарного состояния x и

перешла в соседнюю с ним точку x +γ , где γ – малое отклоне ние от стационарного состояния, такое, что γ <<1 .

Разложим стоящую в правой части уравнения (3.11) функцию f (x +γ) в ряд Тейлора в точке x :

Отбросим нелинейные члены в уравнении (3.12) как величи ны более высокого порядка малости и получим линейное уравне ние:

72

Часть I. Построение математических моделей

Это уравнение называется линеаризованным или уравнением

где C – произвольная постоянная, λ =a1 = f '(x)

Если λ < 0 , то при t →∞γ →∞ , а следовательно первона чальное отклонение от стационарного состояния γ самопроиз

вольно затухает в силу характера поведения нашей системы. Та ким образом, стационарное решение рассматриваемого уравне ния устойчиво по Ляпунову. Напротив, если λ > 0, то при t →∞γ →∞ первоначальное отклонение со временем увеличи вается и стационарное состояние неустойчиво.

Если λ = 0, то уравнение первого приближения не может дать ответа на вопрос об устойчивости стационарного состояния сис темы. В этом случае нужно рассматривать члены более высокого порядка в разложении в ряд Тейлора.

При исследовании устойчивости стационарных состояний бо лее сложных систем проводятся аналогичные рассуждения.

Таким образом, по знаку производной правой части исходно

го уравнения dx = f (x) в стационарной точке x можно получить dt

ответ на вопрос об ее устойчивости. Если производная функции f (x) в стационарной точке отрицательна, то стационарное состоя ние устойчиво, если она положительна, то неустойчиво.

Качественное исследование логистической модели

В качестве примера приведем качественное исследование логистической модели. Логистическая модель была впервые предложена бельгийским математиком Пьером Франсуа Фер хюльстом (1804 1849) для описания численности населения в ус ловиях ограниченности ресурсов, поэтому в его честь получила название модель Ферхюльста. В основе логистической модели лежат следующие предположения:

73

Математическое моделирование в почвоведении

1.существует предельная численность популяции К, кото рую может обеспечить окружающая среда. Параметр К характеризует «емкость среды»;

2.скорость изменения численности популяции пропорцио нальна самой численности, умноженной (в отличие от модели Мальтуса) на величину отклонения от предельно

го значения.

Модель Ферхюльста имеет следующий вид:

сыщения численности». При x < K скорость роста численности по ложительна, при x > K она отрицательна и стремится к нулю, если

Затем определим их устойчивость. В соответствии с аналитиче ским методом определения устойчивости Ляпунова для этого нужно определить знак производной функции f(x), стоящей в пра вой части дифференциального уравнения (3.15), в стационарных точках.

Производная функция равна:

Показатель удельной скорости роста q величина положительная

74

Часть I. Построение математических моделей

(q>0). Следовательно, стационарное состояние x1 =0 неустойчи

При любом начальном значении x0 численность стремится к устойчивому стационарному значению К.

Нелинейная модель Ферхюльста более реалистично отражает динамику численности популяции в сравнении с линейной моде лью Мальтуса.

Как и в предыдущих примерах логистическая модель демон стрирует универсальность математических моделей, так как ши роко используется не только для описания динамики численности популяций, но и во многих других случаях при описании меха низмов насыщения.

Рис. I.3.5. Зависимость величины скорости роста от численности (а) и численности от времени (b) для логистического уравнения. (по Ризни ченко, 2003).

75

Математическое моделирование в почвоведении

На примере логистической модели мы познакомились с каче ственным исследованием моделей, представленных одним обыкновенным дифференциальным уравнением. Значительно, большие возможности для изучения динамического поведения систем дает качественное исследование моделей из двух диффе ренциальных уравнений следующего общего вида:

dt

где P(x,y); Q(x,y) – непрерывные функции, определенные в неко торой области евклидовой плоскости (x, y – декартовы координа ты) и имеющие в этой области непрерывные производные поряд ка не ниже первого.

В нашу задачу входит определение стационарного состояния системы (3.16) и его устойчивости.

По определению, в стационарном состоянии dx =0, dy =0 → dt dt

P(x,y) =0,Q(x,y) =0 . Из этого условия найдем стационарное зна чение системы x,y .

Для определения устойчивости стационарного состояния бу дем следовать тем же рассуждениям, как и в случае одного урав нения.

Пусть система отклонилась от стационарной точки x,y и пе

решла в соседнюю точку x +α,y +β и это отклонение мало α <<1; x

β <<1. y

Перейдем от переменных х, y к переменным α, β, представ ляющим собой отклонения от стационарной точки:

x = x +α,y = y +β

Подставляя эти выражения в (3.16), получим:

76

Часть I. Построение математических моделей

dx = dy =

0 . Следовательно, (3.17) можно переписать в виде:

t dt

dα =P(x +α,y +β)

dt

Разложим правые части уравнений этой системы в ряд Тей лора по переменным α и β. Отбросив нелинейные члены, как ве личины более высокого порядка малости, получим систему ли

нейных уравнений:

dα =aα +bβ

dt

Где коэффициенты a, b, c, d – это значения частных производ ных в стационарной точке x,y :

a =Px' (x,y),b =Py' (x,y),c =Qx' (x,y),d =Qy' (x,y).

Система (3.19) называется линеаризованной или системой первого приближения.

Для широкого класса систем, характер поведения которых не меняется при малом изменении правых частей уравнений (3.16), исследование уравнений первого приближения позволяет судить об устойчивости стационарного состояния системы (3.16) и о типе

Подставим эти выражения в (3.19) и сократим на eλt :

77

Математическое моделирование в почвоведении

λA =aA +bB

(3.21)

λB =cA +dB

Алгебраическая система уравнений (3.21) с неизвестными A, B имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определи тель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:

плексно сопряженные числа. Предположим, что оба корня харак теристического уравнения (3.22) имеют отличные от нуля дейст вительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (3.19), записанное в виде (3.20), можно представить ли нейной комбинацией экспонент с показателями λ1 иλ2 :

α(t) =C11eλ1t +C12eλ2t (3.24)

β(t) =C21eλ1t +C22eλ2t

Изменения во времени переменных α, β, представляющих собой отклонения от стационарной точки, в соответствии с (3.24) зависят от вида показателей экспонент λ1 и λ2 . Таким образом,

корни характеристического уравненияλ1 и λ2 определяют поведе

ние системы в окрестности стационарной точки x,y и ее устойчи вость. Рассмотрим возможные варианты.

Если λ1 и λ2 действительные числа одного знака, то стацио нарная точка называется узел (рис. I.3.6). В том случае, когда они

78

Часть I. Построение математических моделей

отрицательные λ1 <0 и λ2 <0, отклонения от стационарной точки

α,β со временем уменьшаются, следовательно, стационарная точ ка x,y асимптотически устойчива и называется устойчивый узел.

Если λ1 >0 и λ2 >0, значения переменных α, β со временем возрас тают и стационарная точка является неустойчивым узлом.

Рис. I.3.6. Особая точка типа «узел» на фазовой плоскости (x,y)

В том случае, когда λ1 и λ2 действительные числа разных знаков, тип стационарной точки получил название «седло» (рис. I.3.7). Стационарная точка этого типа является неустойчивой.

Если λ1,λ2 – комплексно сопряженные числа, то изменения переменных состояния x,y во времени носит колебательный ха рактер.

Втом случае, когда λ1,λ2 – комплексно сопряженные числа

иимеют отрицательные действительные части, то колебания за тухают, а стационарная точка представляет собой устойчивый фо

кус.

Если λ1,λ2 – комплексно сопряженные числа и имеют по ложительные действительные части, то амплитуда колебаний

79

Математическое моделирование в почвоведении

увеличивается со временем, а стационарная точка является неус тойчивым фокусом.

Рис. I.3.7. Особая точка типа «седло» на фазовой плоскости (x,y)

Фазовый портрет системы вблизи стационарной точки типа «фокус» представлен на рис. I.3.8. Фазовые траектории в этом случае представляют собой спирали.

Рис. I.3.8. Особая точка типа «фокус» на фазовой плоскости (x,y)

Когда λ1,λ2 – чисто мнимые, через особую точку не прохо дит ни одна интегральная кривая. Такая особая точка, вокруг ко торой имеются замкнутые интегральные кривые, в частности, эл липсы, вложенные друг в друга, называется «центром» (рис. I.3.9).

80