мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

гипотез. Например, приняты гипотезы о линейности процессов, а попали в область нелинейности;

2.принятая система гипотез верна, но параметры установле ны неточно;

3.неверна исходная совокупность гипотез.

При возникновении проблем, связанных с адекватностью мо дели, ее корректировку требуется начинать с последовательного анализа всех возможных причин неадекватности.

Положительный результат проверки не является доказатель ством того что модель заключает в себе абсолютную истину, а лишь демонстрирует ее пригодность для использования.

12 шаг − заключительный синтез

Моделирование сложных динамических систем никогда не бывает полностью завершенным. На каждом из этапов модели рования могут возникать трудности, для преодоления которых необходимо корректировать модель. Например, расширять спи сок переменных состояния, уточнять вид функций, используемых для описания взаимодействий между переменными, уточнять значения параметров и др. Разработка модели итеративный про цесс, обеспечивающий ее постоянное обновление и развитие, ре зультатом которого являются новые знания об изучаемой систе ме. Однако каждый исследовательский проект подходит к заклю чительному этапу, на котором составляется отчет, в котором нуж но:

•обозначить область применения модели;

•представить содержательные результаты;

•показать в каком направлении модель следует развивать в дальнейшем.

51

Математическое моделирование в почвоведении

2.2. Источники неопределенности моделей

Так как модель всегда является упрощенным представлением реальности, любое предсказание имеет неопределенность. Неоп ределенности обусловлены, как природной вариабельностью моделируемых явлений, так и ошибками, сделанными в процессе определения структуры модели, оценке ее параметров и выборе ситуаций (сценариев), для которых модель будет реализована

(рис. I.2.4).

Ошибки, возникающие на разных этапах построения и реали зации модели, не являются независимыми, а могут взаимодейст вовать самым неожиданным образом, увеличивая неопределен ность предсказаний.

Модель

Пространственная вариабельность Сценарий

Параметры

Предсказания

Источники ошибок в процессориентированных моделях

Рис. I.2.4. Схема, характеризующая источники неопределенностей пред сказаний моделей экосистемного уровня (по Gardner et al., 1990).

52

Часть I. Построение математических моделей

Ошибки, возникающиеприопределенииструктурымодели

При определении структуры модели возникает проблема вы бора числа переменных состояния. Оно зависит от цели модели рования и выбранного масштаба. Нужно помнить, что ошибки ди намических моделей заметно возрастают уже при агрегировании переменных, различающихся по скоростям оборота более чем в три раза (Gardner et al., 1982).

Выбор уровня сложности модели, который минимизирует ошибки предсказаний, является непростой задачей, так как при увеличении детальности описания особенно за счет включения процессов, параметры которых трудно измерить, возрастает не определенность модельных предсказаний.

Лучшим подходом в этих обстоятельствах является построе ние серий последовательно усложняющихся моделей. Этот спо соб реализует два методологических принципа системного ана лиза: принцип итеративности, состоящий в последовательном совершенствовании модели, и принцип соответствия сложно сти и точности. В результате построения серии получают мо дель минимальной сложности для заданной точности экспери ментальных данных.

Ошибки, возникающие при выборе сценария

Неопределенность модельных предсказаний значительно возрастает, когда модели применяются к областям большим, чем их внутренний масштаб. Например, когда локальные (точечные) модели, при построении которых исходили из предположения о неизменности внешних переменных, в пределах единичной пло щади, применяются к большим территориям.

В этом случае важно оценить, как отказ от предположения о пространственной однородности внешних условий сказывается на ошибках моделирования. Как известно, для нелинейных функций значение функции, определенное по среднему значению аргу мента не равно среднему значению функций, определенных раз дельно для каждого из значений аргументов. Следовательно, при

53

Математическое моделирование в почвоведении

переходе от локального к региональному масштабу ошибки мо делирования будут возрастать в тех случаях, когда модель содер жит нелинейные функции от изменяющихся в пространстве вход ных переменных. Ошибки агрегирования зависят не только от степени нелинейности, используемых в модели функций, но и от пространственного масштаба агрегирования.

Ошибки, связанные с оценкой параметров

Для исследования зависимости предсказаний от точности значений параметров применяется результаты анализа чувстви тельности.

Анализ чувствительности позволяет выявить параметры, к ко торым интересующие переменные состояния модели наиболее чувствительны. Для уменьшения ошибок моделирования эти па раметры следует определять наиболее точно. Анализ чувстви тельности показывает также путь усложнения модели в тех случа ях, когда ее адекватность недостаточна. Усложнять модель целе сообразно путем уточнения описания процессов, к параметрам которых модель наиболее чувствительна.

Исследование неопределенности предсказаний позволяет определить пути совершенствования моделей и улучшить качест во прогнозов.

54

Часть I. Построение математических моделей

Глава 3. Динамические модели. Качественные методы исследования динамических моделей

Динамическими системами называют любые системы (физи ческие, химические, биологические, экономические, социальные и др.), состояние которых изменяется во времени дискретно или непрерывно. В математическом понимании динамической систе мой является любой объект, для которого однозначно определе но понятие состояния, как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает из менение начального состояния с течением времени (Анищенко, 2008).

Почва относится к динамическим системам. Функционирова ние почвы, как целостной системы, является результатом взаимо действия составляющих ее компонентов. Понять динамические свойства почвы можно на основе системного подхода, анализи руя поведение каждого из ее компонентов, как результат его вза имодействия с другими компонентами. Одним из наиболее эф фективных методов изучения изменений почв с течением време ни является построение и анализ динамических моделей. Анализ динамических свойств моделей, характеризующих разные аспек ты функционирования почв, позволяет лучше понять особенности ее динамики.

Для описания динамических систем используются различный математический аппарат (дифференциальные уравнения, дис кретные отображения, теория марковских цепей и др.). В настоя щем курсе мы рассмотрим динамические модели, представлен ные дифференциальными уравнениями. Математический язык дифференциальных уравнений для описания динамических сис тем был предложен Исааком Ньютоном (1642 1727). В настоящее время он широко используется при построении моделей в самых разных областях науки.

55

Математическое моделирование в почвоведении

Приведем некоторые основные понятия теории обыкновен ных дифференциальных уравнений и рассмотрим несколько при меров простейших моделей обсуждаемого типа.

Для того чтобы определить динамическую систему, модель которой мы хотим построить, нужно задать конечное число пере менных, однозначно характеризующих ее состояние. Предполо жим, что в соответствии с поставленной проблемой, для характе ристики состояния почвы выбрано n различных компонентов. Ка ждый i компонент характеризуется переменной состояния xi. В качестве переменных состояния могут быть выбраны концентра ции различных веществ, численность микроорганизмов, и др.

Закон изменения динамической системы во времени можно в общем виде представить системой n дифференциальных урав нений:

переменных; fi – известные функции; t – время.

Чаще всего рассматривают частный случай системы (3.1), ко гда правые части не зависят явно от независимой переменной t:

56

Часть I. Построение математических моделей

Такие системы называются автономными. Решение системы представляет собой совокупность функций, характеризующих за висимость переменных состояния от времени:

х 1(t), х 2(t),….. х i(t),….. х n(t) (3.3).

Лишь для небольшого класса систем дифференциальных уравнений удается найти аналитическое решение, то есть пред ставить зависимость переменных состояния от времени в виде математических формул. В большинстве случаев получают только численное решение.

В процессе изменения состояния системы во времени пере менные хi изменяются согласно системе уравнений (3.2). В мо мент времени t каждому состоянию системы соответствует сово купность n значений переменных хi(t).

Для удобства анализа поведения динамических систем во времени используют понятие n мерного фазового пространст ва – абстрактного пространства с осями координат х1, х2,... хi,… хn.. Тогда состояние динамической системы в каждый момент време ни можно представить в виде точки этого пространства. Каждая точка Х этого пространства с координатами х1, х2,... хi,… хn соответ ствует определенному состоянию системы. Точка X(х1, х2,... хi,… хn)

называется изображающей или фазовой точкой. Изменение со стояния системы сопоставляется с перемещением изображающей точки в фазовом пространстве. Пусть в начальный момент време ни t = t0 координаты изображающей точки X0(х10, х20,... хi0,… хn0). В каждый следующий момент времени t изображающая точка бу дет двигаться в соответствии с системой уравнений (3.2) и прини мать положения X (х1, х2,... хi,… хn), соответствующие значениям х1(t), х2(t),… хi(t),… хn(t). Линия, по которой движется изображаю щая точка в фазовом пространстве, называется фазовой траекто рией. В фазовом пространстве системы уравнениями (3.2) опре деляется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точ ке X выходящий из нее вектор скорости F(X), компоненты которо го определяются правыми частями уравнений (3.2):

[ f1 (x1 , x2 ,...xn ),...fi (x1 , x2 ,...xn ),... fn (x1 , x2 ,...xn )]

57

Математическое моделирование в почвоведении

На фазовой траектории стрелками отмечается направление движения изображающей точки.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных состояния представляет собой фазовый портрет системы. Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени.

В случае когда переменных состояния только две х1 и х2, со вокупность всех состояний системы представляет собой фазовую плоскость (Рис. I.3.1).

x1

X(x1,x2)

x2

Рис. I.3.1. Изображающая точка на фазовой плоскости

При рассмотрении динамических характеристик модели в первую очередь определяют ее стационарные состояния.

В стационарном состоянии все производные по времени

dxi (i = 1 … n) в левых частях системы (3.2) обращаются в нуль. dt

Приравнивая к нулю правые части системы уравнений (3.2), полу чим систему алгебраических уравнений (3.4) для определения

стационарных значений переменных состояния (x1 ,...xi ,...xn ) :

f1 (x1 , x2 ,...xn ) =0;

fi (x1 , x2 ,...xn ) =0; (3.4)

.............................

fn (x1 , x2 ,...xn ) =0

58

Часть I. Построение математических моделей

Точка фазового пространства Х с координатами

(x1 ,...xi ,...xn ) называется стационарной или особой точкой систе мы уравнений (3.2).

Рассмотрим простейшие примеры динамических моделей.

Модель экспоненциального роста (модель Мальтуса)

Одной из наиболее широко известных простейших динамиче ских моделей является модель, предложенная известным англий ским демографом и экономистом Томасом Мальтусом (1766 1834), согласно которой неконтролируемый рост народонаселе ния должен привести к голоду на Земле. В ее основу положено простое предположение, что скорость изменения численности населения со временем t пропорциональна его текущей числен ности x(t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости α ≥ 0 и смертности β ≥ 0:

dx

(3.5)

dt

Введем параметр k = α – β, который является показателем удельной скорости роста и получим:

численность населения убывает и стремится к нулю при t→∞, а при α > β неограниченно растет по экспоненциальному закону.

Последнее обстоятельство послужило основанием для беспокой ства Томаса Мальтуса о грядущем перенаселении нашей планеты.

Эта модель не учитывает зависимости сложнейшего процесса изменения численности населения от множества условий и под ходит только для описания изменения численности изолирован ной популяции, которая развивается в условиях неограниченных

59

Модель экспоненциального роста (3.6) используется для опи сания широкого круга явлений (радиоактивный распад, динамика популяций, разложение растительных остатков, минерализация гумуса, рост зарплаты и др.). На первый взгляд кажется, что меж ду ними нет ничего общего. Однако описание всех этих разно родных явлений основано на одном общем предположении, что скорость изменения значения переменной состояния пропорцио нальна самому ее значению. Это предположение используется в различных областях знаний, а приведенный пример демонстри рует универсальность моделей, то есть их применимость для опи сания объектов различной природы.

Простейшая линейная динамическая модель открытой системы

В качестве еще одного примера динамической модели рас смотрим простейшую линейную модель открытой системы, в ко торой происходит обмен веществами «а» и «b» с окружающей средой и обратимая реакция первого порядка превращения a↔b. (рис. I.3.3).

60