мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

Вэтом случае в системе происходят незатухающие колебания

спостоянной амплитудой. «Центр» – это нейтрально устойчивое (негрубое) состояние, так как чувствительно к малым изменениям параметров правой части уравнений (3.16).

Рис. I.3.9. Особая точка типа «центр»

Таким образом, возможны шесть типов особых точек в зави симости от характера корней характеристического уравнения

(3.22).

1.устойчивый узел ( λ1,λ2 действительные, отрицательные числа)

2.неустойчивый узел ( λ1,λ2 действительные, положитель ные числа)

3.седло ( λ1,λ2 действительные числа разных знаков)

4.устойчивый фокус ( λ1,λ2 комплексно сопряженные числа с отрицательной действительной частью)

5.неустойчивый фокус ( λ1,λ2 комплексно сопряженные числа с положительной действительной частью)

6.центр ( λ1,λ2 − мнимые).

Стационарные состояния 1 5 являются грубыми, так как их ха

81

Математическое моделирование в почвоведении

рактер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (3.16).

Приведем пример качественного исследования модели, представленной двумя дифференциальными уравнениями. Ис пользуем для этой цели простейшую линейную модель транс формации органического вещества почв (Смагин, 1994).

Линейная динамическая модель трансформации органиче ского вещества почвы

Качественная структура модели представлена на рис. I.3.10. Модель представляет собой систему двух линейных обыкно

венных дифференциальных уравнения вида:

где x – углерод детрита; y – углерод гумуса; k1 – константа ско рости минерализации детрита; k2 – константа скорости гумифи кации детрита; k3 – константа скорости минерализации гумуса; L

– скорость поступления растительных остатков в почву.

Гумус

Y

Рис. I.3.10. Качественная структура линейной динамической модели трансформации органического вещества почв.

82

Часть I. Построение математических моделей

Начнем исследование с поиска стационарного состояния сис

темы из условия: dx =0 , dy =0 . Эти условия дают систему алгеб dt dt

раических уравнений, решая которую найдем стационарные зна чения x,y :

L −(k1 +k2 )x =0 k2 x −k3y =0

Координаты стационарной точки на фазовой плоскости:

Определим устойчивость этого стационарного состояния ме тодом Ляпунова.

Введем новые переменные α, β, представляющие собой от клонения переменных х,y от стационарной точки x,y :

x(t) = x +α(t),y(t) = y + β(t) .

Линеаризованная система (частный случай (3.19) в новых пе ременных) имеет вид:

Характеристический определитель этой системы имеет вид:

Раскрывая его, получим характеристическое уравнение сис темы (3.27):

83

Математическое моделирование в почвоведении

Найдем корни характеристического уравнения:

λ1 =−k3 ;λ2 =−(k1 +k2 )

Параметры k1 ,k2 ,k3 являются соответственно константами скоростей процессов минерализации и гумификации детрита и минерализации гумуса, которые всегда положительны. Таким об разом, корни характеристического уравнения действительные от рицательные числа. Следовательно, стационарное состояние сис темы представляет собой устойчивый узел.

В рамках рассмотренной линейной модели динамики орга нического вещества почвы поведение системы жестко детерми нировано. Из любого начального состояния она со временем бу дет стремиться к единственному стационарному состоянию. Как следует из (3.26), величина стационарных запасов детрита и гуму са в почве не зависит от их значений в начальный момент време ни, а определяется только количеством, ежегодно поступающих в почву растительных остатков (L) и константами скоростей процес сов минерализации и гумификации детрита и минерализации гу муса. Хотя начальные условия не влияют на стационарные значе

ния x,y , они определяют характер кривых, описывающих пере

ход системы от начального состояния ( x0 ,y0 ) в момент времени t = 0 к стационарному ( x,y ) при t →∞ .

Если в начальный момент времени запасы детрита и гумуса в почве были ниже стационарных значений, то со временем они будут увеличиваться, напротив, если они их превышали, то уменьшаться, приближаясь к стационарным величинам. Так как стационарная точка асимптотически устойчива и представляет со бой устойчивый узел, возмущения системы со временем всегда будут затухать. В такой системе невозможны колебательные ре жимы.

Простота рассмотренной выше модели во многом обуслов лена ее линейностью. В случае линейных моделей отклик систе

84

Часть I. Построение математических моделей

мы на изменение внешних условий пропорционален величине этих изменений.

Большинство реальных процессов являются нелинейными. Линейные модели, как правило, служат лишь первым приближе нием к реальности. Например, как было показано выше, модель динамики численности популяции сразу становится нелинейной, если мы хотим учесть ограниченность ресурсов (логистическая модель).

В первой главе при обсуждении специфики почвы как объек та моделирования отмечалось, что одной из наиболее важных характеристик этой системы является нелинейность. Динамика таких систем значительно сложнее и многообразнее чем линей ных. К особенностям нелинейных систем относится мультиста ционарность, тогда как в линейных системах существует только одно стационарное состояние, которое достигается независимо от начальных условий. В нелинейных системах возможны перехо ды из одного стационарного состояния в другое при малых изме нениях параметров. Они получили название катастроф. Катастро фы – это скачкообразные изменения, возникающие в виде вне запного ответа системы на плавное изменение параметров. Ли нейные системы лишены таких свойств, как возникновение ката строф. Изучением этих явлений занимается теория катастроф. Появившись в 70 е годы прошлого века, она получила очень ши рокое распространение. Математические статьи основоположни ка теории катастроф французского математика Рене Тома издава лись даже массовым тиражом. Теория катастроф обнаружила об щие закономерности во многих на первый взгляд совершенно различных явлениях. Ее применяют в физике, биологии, экономи ке, социологии, политике и других областях. В основе математи ческой теории катастроф лежит теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре – Андронова. Теория Уитни – это обобщение исследо вания функций на максимум и минимум. В этой теории функции заменены отображениями, т.е. наборами нескольких функций нескольких переменных. Теория бифуркации анализирует качест

85

Математическое моделирование в почвоведении

венное поведение систем при изменении параметров, от которых они зависят. Теория катастроф является эффективным инструмен том исследования качественного поведения различных нелиней ных систем. В настоящее время опубликовано несколько замеча тельных книг по математической теории катастроф написанных на языке доступном широкому кругу читателей, в которых приводит ся ее история, обсуждаются основные понятия и рассматриваются иллюстративные примеры (Постон., Стюарт, 1980; Томпсон, 1985; Арнольд, 1990).

Нелинейные системы могут находиться в режиме автоколе баний с постоянным периодом и амплитудой. Их возникновение поддерживается благодаря нелинейным взаимодействиям в са мой системе, а не вследствие внешнего воздействия. Важным ре зультатом изучения динамики нелинейных систем явилось обна ружение «детерминированного хаоса», то есть режима с очень изменчивой амплитудой колебаний. Было показано, что в нели нейных моделях с числом степеней свободы больше двух при оп ределенных критических значениях их внутренних параметров решение системы ведет себя как случайная функция. Поэтому для обозначения этого явления были предложены термины динами

ческая стохастичность и динамический (или детеминирован ный) хаос.

Важно отличать эти процессы от стохастических в классиче ском смысле, так как здесь хаос возникает как результат внутрен ней динамики системы, а не является следствием внешних слу чайных воздействий. Причиной хаотического поведения широко го класса нелинейных систем является их высокая чувствитель ность к начальным условиям. Небольшие отклонения от началь ных условий нарастают со временем, что приводит к расхожде нию первоначально близких траекторий. С этим связана непред сказуемость поведения таких систем на достаточно больших вре менах.

Один из первых примеров детерминированного хаоса в дис сипативных системах продемонстрировал американский метео ролог Эдвард Лоренц в 1963 году. Динамические системы по

86

Часть I. Построение математических моделей

энергетическому признаку делятся на консервативные (характе ризующиеся неизменным во времени запасом энергии) и некон сервативные (с изменяющимся во времени запасом энергии). Диссипативными называются системы, в которых энергия со вре менем уменьшается. Для их непрерывного функционирования необходимы источники энергии. Почвы относятся к диссипатив ным системам.

Лоренц предложил простейшую модель конвекции воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы). В основе этой модели лежат представления о связи потоков воздуха в атмосфе ре с разностью температур ее различных слоев. Она представляет собой систему из трех нелинейных дифференциальных уравне ний:

x =−σ(x +y),

= − + −

y xz rx y, где σ, b и r — параметры.

z = xy −bz,

Исследование этой модели показало, что даже такая внешне простая система уравнений приводит к хаотическим траекториям

(рис. I.3.11).

Модель Лоренца объясняет почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных прогнозов погоды. Непредсказуемость поведения сложных нелинейных динамических систем на больших временах обусловлена их высокой чувствительностью к начальным данным. Малые изме нения начальных условий ведут к расходимости фазовых траекто рий. Таким образом, в детерминированных системах с динамиче ским хаосом, где будущее однозначно определяется прошлым, существует конечный горизонт прогноза.

В настоящее время созданы классификации различных типов хаоса, разработаны методы, позволяющие отличать хаос от шума. Хаотическое поведение играет важную роль в процессах самоор ганизации в природе.

87

Математическое моделирование в почвоведении

Рис. I.3.11. Аттрактор Лоренца (расчет проводился при r = 28,

σ = 10, b = 8/3). (Малинецкий, Курдюмов, 2001).

По определению Германа Хакена: «Самоорганизация—это процесс упорядочения (пространственного, временного или про странственно временного) в открытой системе, за счёт согласо ванного взаимодействия множества элементов её составляющих» (Хакен, 1985). Он впервые ввел термин «синергетика» (от грече ского synergia – совместное действие) для названия междисцип линарного научного направления, которое изучает процессы са моорганизации сложных систем, состоящих из многих компонен тов, связанных между собой нелинейными взаимодействиями. Математической основой синергетики является нелинейная ди намика.

Использование идей и методов синергетики имеет большое значение для развития почвоведения, так как почвообразование в широком смысле является синергетическим процессом самоорга низации почвенной системы in situ в течение ее функционирова ния во времени и пространстве (Targulian, Krasilnikov, 2007).

88

Часть I. Построение математических моделей

Для анализа и наглядного представления поведения нели нейных динамических систем принято использовать фазовые портреты.

Математическим образом установившихся режимов является притягивающее множество в фазовом пространстве или ат трактор (от английского to attract – притягивать). При этом важ ным являются качественные особенности аттракторов. Простей ший тип аттрактора представляет собой устойчивую особую точку, к которой стремятся фазовые траектории.

Режиму устойчивых колебаний системы с постоянным перио дом и амплитудой в фазовом пространстве соответствует замкну тая кривая. Аттрактор в этом случае называется устойчивым пре дельным циклом. Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний система спустя некоторое время вновь возвра щается к ним.

В системах, начиная с размерности 3, возможно хаотическое поведение. Его математическим образом в фазовом пространстве служит странный аттрактор, представляющий собой множе ство очень сложной геометрии, к которому притягиваются прохо дящие вблизи от него траектории.

Качественное исследование нелинейных динамических сис тем позволяет ответить на вопросы, сколько и каких аттракторов имеет изучаемая система, как может измениться число и тип ат тракторов при изменении ее параметров.

На указанные особенности поведения сложных нелинейных систем могут накладываться изменения внешних воздействий, что приводит к очень сложной динамике.

Приведем пример качественного исследования серии про стейших нелинейных моделей круговорота углерода (Рыжова, 2003).

89

Математическое моделирование в почвоведении

Серияпростейшихнелинейныхмоделейкруговоротауглерода

Комплекс нелинейных взаимодействий в системе почва биоценоз, определяющий устойчивость экосистем, очень сложен, поэтому не может быть глубоко исследован в рамках какой либо одной модели. Одним из эффективных методов его изучения яв ляется построение серий постепенно усложняющихся моделей с целью определения роли отдельных взаимодействий в формиро вании механизма устойчивости. Рассмотрим серию из трех про стейших нелинейных моделей круговорота углерода.

По современным представлениям, основным механизмом саморазвития биогеоценозов, особенно на первых стадиях фор мирования, является противоречие в подсистеме почва растительность, разрешающееся с помощью механизма положи тельной обратной связи (Арманд, 1988; Борщевский, Михаленко, 1991). Каждый из компонентов системы стимулирует развитие другого и в результате – свое собственное. В процессе формиро вания биогеоценоза с ростом продуктивности увеличивается ко личество поступающих в почву растительных остатков, служащих источником образования гумуса. В свою очередь, гумус оптими зирует среду обитания растений и способствует росту продуктив ности растительного покрова.

Попытаемся отразить в модели круговорота углерода поло жительную обратную связь между содержанием гумуса в авто морфных почвах и продуктивностью растительного покрова.

Чтобы определить вид этой связи рассмотрим имеющиеся в литературе материалы о влиянии содержания гумуса в почве на продуктивность высших растений. Они имеют противоречивый характер. В некоторых работах связь между содержанием гумуса в почве и продуктивностью не установлена (Борисов, Ганжара, 1985). Другие исследователи указывают на зависимость урожая растений от гумусированности почв (Карпухин др., 1985). Изуче нию роли органического вещества в плодородии почв много вни мания уделено в работах Т.Н. Кулаковской (1978). В ее опытах ус тановлено положительное влияние гумуса на урожай. Особенно четко оно проявлялось на легких почвах с низким содержанием

90