мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

дующему этапу. В противном случае нужно проводить дополни тельные исследования для получения недостающих данных, или выбирать такой тип модели, который может быть реализован на основании имеющихся данных. В последнем случае приходится возвращаться на первый этап и корректировать постановку зада чи.

4 шаг – концептуализация модели

Концептуальная модель представляет собой концептуальную структуру (систему взглядов) в рамках которой мы анализируем факты. Она отражает наши представления об изучаемой системе. Так как модель − всегда упрощение реальности, на этапе концеп туализации выбирают компоненты и процессы, которые кажутся наиболее важными в свете рассматриваемой проблемы. На осно ве этого выбора определяют окружающую среду системы и харак теризующие ее параметры, внутренний состав и структуру моде ли. Для сложных систем модель может иметь блочную (модуль ную) структуру, состоящую из ряда блоков, каждый из которых представляет одну из подсистем изучаемой системы. В этом слу чае на этапе концептуализации формулируют гипотезы о взаимо действии блоков. Блочный принцип построения модели позволя ет описать процессы с разными характерными временами, так как для каждого блока можно выбрать свой временной шаг. Этот подход позволяет заменять отдельные блоки и использовать бло ки из одних моделей при конструировании других.

Концептуализация модели является ключевым шагом иссле дования, так как именно концептуальная модель является осно вой для математической модели. Концептуальные модели могут быть вербальными (словесными), но, как правило, их представ ляют в виде схем или потоковых диаграмм, отражающих каче ственную структуру модели.

В качестве примера на рис. I.2.2 приведена потоковая диа грамма модели, построенной по блочному принципу. Она демон стрирует качественную структуру широко известной модели DNDC (DeNinrification DeComposition), которая была предложена для

41

Математическое моделирование в почвоведении

изучения влияния климатических изменений, характера земле пользования и хозяйственных воздействий на динамику углерода

иазота в почве (Zhang et al., 2002). Она включает три блока: кли матический; роста растений и превращений соединений углерода

иазота в почве. Рис. I.2.3 характеризует качественную структуру одного из модулей этой модели, который описывает динамику углерода и азота в почве.

Рис. I.2.2. Блок схема модели Crop DNDC (DeNitrification and DeComposi tion, по Zhang et al., 2002).

5 шаг – формализация модели

Формализация модели – это представление системы в форме совокупности математических соотношений, описывающих ее поведение и свойства. Задачей этого этапа является переход от качественной структуры модели, которая только устанавливает наличие или отсутствие связей между переменными, к математи ческой (аналитической) структуре, устанавливающей конкретный вид зависимостей между переменными состояния и внешними переменными модели. При этом опираются на уже известные за коны, результаты статистического анализа экспериментальных данных, экспертные оценки и гипотезы о характере связей между переменными.

42

Часть I. Построение математических моделей

a: Углерод

лабильный

Растворимый углерод

Гумусовые пулы

Лабильный Устойчивый

Пул пассивного углерода

b: Азот

Атмосфера

Рис. I.2.3. Структура модуля, описывающего процессы превраще ний соединений углерода (а)и азота (b) в почве.

43

Математическое моделирование в почвоведении

На этом этапе можно провести предварительный контроль модели, который является первым шагом на пути к ее исследова нию. Осуществляются следующие виды контроля (Введение в ма тематическое моделирование, 2005):

•Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складывать ся могут только величины одинаковой размерности. Во из бежание ошибок переменные с одной размерностью обо значают одинаковыми символами, но с разными индекса ми, составляют таблицы обозначений переменных с указа нием их размерностей и используют одну и ту же систему единиц для значений всех параметров.

•Контроль порядков величин направлен на упрощение мо дели. При этом определяются порядки складываемых ве личин и явно малозначимые слагаемые отбрасываются.

•Анализ характера зависимостей сводится к проверке на правления и скорости изменения одних величин при изме нении других. Направления и скорость, вытекающие из мо дели, должны соответствовать физическому смыслу зада чи.

•Контроль экстремальных ситуаций – проверка того, ка кой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, и математические соотношения приобретают более наглядный смысл.

•Контроль граничных условий – проверка того, что гранич ные условия действительно поставлены и использованы в процессе получения решения и что значения выходных па раметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.

44

Часть I. Построение математических моделей

•Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность решить поставленную за дачу. Должны быть определены все соотношения, необхо димые для получения решения (количество уравнений равно количеству переменных состояния; заданы все внешние переменные и функции; определены все пара метры; заданы начальные и граничные условия).

•Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, харак тера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий и математической замкнутости.

6 шаг – выбор метода решения

Методы решения можно разделить на аналитические и алго ритмические. В первом случае результат представляет собой ана литическое выражение или их совокупность. Аналитические ме тоды более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. Если по ставленная задача хотя бы в упрощенном варианте допускает аналитическое решение, его обязательно следует получить. Пре жде чем пользоваться ЭВМ, задачу необходимо всесторонне ис следовать аналитическими методами. Аналитические методы – «старое, но грозное оружие» − не теряют своего значения (Ми гдал, 1976).

Алгоритмические методы сводятся к поиску алгоритма для компьютерной реализации модели. Алгоритм представляет собой схему вычислительных действий, необходимых для получения решения с заданной точностью. Алгоритмические методы требу ют знания численных методов и знакомства с библиотекой специ ального программного обеспечения.

Общим для численных методов является сведение математи ческой задачи к конечномерной. Это достигается дискретизацией,

45

Математическое моделирование в почвоведении

т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешностям результатов решения зада чи (Введение в математическое моделирование, 2005).

Важными характеристиками алгоритма является его реали зуемость, точность, эффективность и устойчивость. Реализуемость

– это обеспечение решения задачи за допустимое машинное вре мя. Точность – это возможность получения решения задачи с за данной точностью за конечное число действий. Более эффектив ными являются алгоритмы, включающие меньшее число действий для достижения заданной точности. В процессе работы вычисли тельного алгоритма на каждом шаге вычислений возникает неко торая погрешность. Если она в процессе вычислений неограни ченно возрастает, то такой алгоритм называется неустойчивым или расходящимся, в противном случае устойчивым или сходя щимся. Так как для реализации одной и той же модели можно использовать несколько альтернативных алгоритмических мето дов, то выбор производится с учетом обеспечения эффективно сти, устойчивости и точности результатов. Важным аргументом при выборе метода является его освоенность разработчиками модели, так как освоение нового метода достаточно трудоемко и требует, как правило, много времени.

7 шаг – реализация математической модели

Реализация модели – получение, если это возможно, реше ния в аналитической форме или разработка компьютерной про граммы для реализации численного метода решения. Большинст во программ, реализующих математические модели, состоят из трех основных частей:

1.подготовка и проверка исходных данных модели;

2.решение задачи (реализация вычислительного алгоритма);

3.отображение полученных результатов (в числовом, графиче ском или текстовом виде).

46

Часть I. Построение математических моделей

В настоящее время создано множество универсальных мате матических систем (Mathematica, MatLab, Maple, MathCad и др.),

что дает возможность решать многие достаточно сложные зада чи, не вдаваясь в сложности программирования. Для облегчения реализации моделей определенного типа существуют специали зированные пакеты. В дополнение к возможностям MatLab вы пущен специальный пакет Simulink для моделирования и анализа сложных иерархических динамических систем. Очень наглядный и достаточно простой способ реализации точечных динамических моделей из области экологии, химии, экономики и других облас тей предоставляет пакет Modelmaker. Обсуждению вопросов ис пользования современного программного обеспечения в эколо гических и почвенных исследованиях посвящена специальная ли тература (Глаголев, Смагин, 2005; Мамихин и др., 2005).

8 шаг – верификация модели

Верификация – это проверка того, что включенные в модель формальные соотношения правильно отражают выбранную кон цепцию, что они не имеют внутренних противоречий и несоответ ствий в размерности, что предусмотренные математические пре образования не содержат ошибок и программа составлена пра вильно. Прежде чем переходить к работе с моделью, необходимо убедиться в ее корректности и правильном функционировании всех алгоритмов и программ модели. Для этого нужно выполнить отладку программы и провести независимое тестирование. Про веряется возможность появления абсурдных результатов (напри мер, отрицательной концентрации или численности популяции) при достижении предельных значений параметров. Верификация тест на внутреннюю логику модели. Типичный вопрос на этапе верификации: Ведет ли себя модель так, как ожидалось? Этот во прос предполагает, что мы знаем некоторые реакции реальной системы на воздействия и на этом этапе проверяем, воспроизво дит ли их модель.

47

Математическое моделирование в почвоведении

9 шаг – анализ чувствительности

На этом этапе проверяют чувствительность переменных со стояния модели к изменениям начальных условий, параметров, структуры модели, внешних переменных и управляющих функ ций. Это позволяет выявить переменные с высокой и низкой чув ствительностью, а так же от каких параметров и внешних пере менных сильнее всего зависит поведение модели. Анализ чувст вительности помогает определить ключевые моменты функцио нирования системы в контексте изучаемой проблемы и устано вить исследовательские приоритеты. Он показывает пути совер шенствования модели, путем уточнения ее параметров и измене ния структуры. Результаты анализа чувствительности полезны при верификации, калибровке и проверке модели. Известно много различных методов анализа чувствительности, которые класси фицируют как математические и графические.

Математические методы основаны на вычислении выхода (интересующей переменной состояния) для разных значений входа.

Чувствительность (Sx) переменной состояния х к параметру k определяется следующим образом:

Sx =[∂x / x]] /[∂k / k]

Принято считать, что чувствительность к параметру слабая при S < 0.3; средняя при 0.3 < S < 1 и сильная при S > 1 (Пачепский, 1990).

Графические методы характеризуют чувствительность выхо да к изменениям входа в форме графиков. Как правило, они ис пользуются в качестве дополнения к математическим методам.

Если модель имеет модульную структуру, то анализ чувстви тельности может проводиться для разных модулей отдельно, но с учетом взаимодействия модулей.

Нельзя сказать какой из методов анализа чувствительности является лучшим. У каждого есть свои достоинства и ограничения. Выбор метода зависит от типа модели и задач исследования. Ре комендуется использовать два или большее число разных мето дов.

48

Часть I. Построение математических моделей

10 шаг – калибровка (подбор значений параметров)

Калибровка – это попытка найти лучшее соответствие между расчетными и наблюдаемыми данными путем варьирования зна чений некоторых параметров. Для некоторого набора значений параметров вычисляются значения переменных состояния, кото рые сравниваются с их экспериментальными оценками. Выбира ют тот набор значений параметров, который дает наименьшие расхождения с экспериментальными значениями.

Необходимость в калибровке вызвана следующими причи нами:

1.Данные, получаемые в результате экспериментальных ис следований или натурных наблюдений, включают различные ошибки измерений. Модель, основанная на них, может давать результаты, отличные от реальных, именно за счет ошибок в оп ределении исходных данных.

2.Для многих параметров неизвестны их точные значения, а задаются лишь интервалы значений, поэтому имеет место неоп ределенность при выборе конкретного значения параметра мо дели.

3.Все модели являются упрощением реальности и не учиты вают все детали. Влияние неучтенных отношений может быть принято в расчет в результате калибровки. Калибровка позволяет свести к минимуму расхождения модельного выхода и результа тов наблюдений. А имеющиеся различия, может быть, объясня ются пропущенными в модели деталями.

Очевидно, что даже при самой тщательной калибровке ре зультаты моделирования не могут абсолютно соответствовать ре альным эмпирическим данным. Поэтому при работе с конкретной моделью выбирают определенный критерий калибровки, то есть критерий, по которому определяют допустимость различий меж ду модельными и эмпирическими данными. У одной модели мо жет быть несколько наборов параметров, удовлетворяющих кри терию калибровки.

При калибровке методом проб и ошибок модельер выбирает критерий калибровки интуитивно. При автоматической калибров

49

Математическое моделирование в почвоведении

ке в качестве критерия должна быть выбрана некоторая функция, например:

y =[(∑(xc − xe )2 / xe ) / n]1/2

где xc – расчетное значение переменной состояния; xе – соответ ствующее измеренное значение; n – число сравнений измерен ных или расчетных значений. y вычисляется в процессе калибров ки. Цель калибровки получить минимальное значение у.

Построение модели итеративный процесс. Последователь ность верификация, анализ чувствительности и калибровка вы полняется несколько раз. Сначала модель запускается с первона чальными оценками параметров, потом она грубо калибруется методом проб и ошибок и верифицируется. После этого следует анализ чувствительности и более тонкая автоматическая калиб ровка. Такая процедура повторяется до тех пор, пока не будет по лучен удовлетворительный результат.

11 шаг – проверка адекватности модели Под адекватностью математической модели понимается

степень соответствия результатов моделирования эксперимен тальным данным, характеризующим изучаемую систему. Провер ка должна осуществляться по независимым данным, не исполь зовавшимся при калибровке модели.

На этом этапе проверяется способность модели решать по ставленные при ее создании задачи. Не существует универсально го критерия проверки адекватности моделей сложных систем. Поэтому следует проверять модель по комплексу критериев. Для проверки моделей используются качественные, графические и статистические методы.

Отрицательные результаты проверки являются основанием для возврата на предшествующие этапы. Неадекватность резуль татов моделирования возможна, по крайней мере, по трем при чинам:

1. Значения задаваемых параметров модели выходят за об ласть допустимых значений, определяемой принятой системой

50