мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

На первом этапе строится или подбирается модель, которая в математической форме описывает основные свойства изучаемой системы в соответствии с поставленными задачами. На этом этапе модель исследуется аналитически, что позволяет получить пред варительные знания о качественном поведении системы.

Второй этап – выбор или разработка алгоритма для реализа ции модели на компьютере. Модель представляется в форме удобной для применения численных методов, определяется по следовательность вычислительных и логических операций, кото рые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с задан ной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и быть экономичными.

Третий этап – создание программы, переводящей модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Затем триада «модель алгоритм программа» отлаживается и тестируется. При этом возможно возвращение на предыдущие этапы для внесения не обходимых поправок. После того, как достаточное соответствие (адекватность) триады изучаемой системе установлены, она пре вращается в гибкий инструмент исследования, позволяющий про водить вычислительные эксперименты по изучению свойств и по ведения изучаемой системы.

Вычислительный эксперимент возможен там, где нельзя про вести натурный эксперимент, например, из за слишком большой продолжительности, опасности, дороговизны, риска разрушить изучаемую систему. Вычислительный эксперимент позволяет от носительно быстро и дешево исследовать свойства и поведение изучаемой системы в любых мыслимых ситуациях. Важно отме тить, что вычислительный эксперимент приводит к успеху при вы полнении определенных условий: четкой формулировки целей и задач исследования; адекватности используемых моделей; доста точного количества надежных экспериментальных данных для определения параметров модели и необходимой точности вы числительных алгоритмов.

21

Математическое моделирование в почвоведении

Модель

Объект

Программа Алгоритм

Рис. I.1.2. Схема вычислительного эксперимента (по Самарскому и Ми хайлову, 2001).

1.6. Особенности применения математического моделирования в почвоведении

Для успешного применения математического моделирования в почвоведении необходимо хорошо представлять специфику почвенной системы. Рассмотрим наиболее важные характеристи ки почвы как объекта моделирования.

Почва – открытая система. Она находится в непрерывном взаимодействии с другими системами, составляющими ее окру жающую среду. Почва обменивается с окружающей средой энер гией, веществом и информацией. Учет связей с окружающей сре

22

Часть I. Построение математических моделей

дой имеют первостепенное значение при моделировании откры тых систем.

Многокомпонентность. Почва относится к классу многоком понентных систем. Если система состоит из N элементов, и каж дый элемент связан с каждым, то общее число связей равно N(N 1). Если все N элементов имеют по М состояний, то для такой сис темы общее число состояний К равно МN. Если поведение систе мы определяется процессом перехода элементов из одного со стояния в другое, то общее число возможных переходов равно К2. Например, в простом случае, когда система S состоит только из 3 элементов (N = 3) и каждый элемент может находиться в одном из двух состояний (М = 2), общее число состояний К = 23 = 8, а чис ло сценариев возможного поведения системы К2 = 82 =64. Пове дение систем быстро усложняется с ростом числа их элементов. Так, если N = 10, М = 2, то число связей равно 90, общее число со стояний К = 1024, а число сценариев превышает миллион.

Эти примеры иллюстрируют многовариантность поведения многокомпонентных систем и указывают на сложность прогнози рования их динамики.

Почва является уникальным природным телом, которое об разовалось под воздействием живого вещества на земной по верхности там, где смыкаются и тесно взаимодействуют атмосфе ра, литосфера и гидросфера. Поэтому в ее состав входит четыре фазы – живая, твердая, жидкая и газообразная, каждая из кото рых представлена множеством разнообразных компонентов. Для детального описания почв понадобилось бы экстремально высо кое число переменных. Поэтому моделирование играет чрезвы чайно важную роль при изучении почв, так как позволяет заме нить столь сложную систему ее более простыми моделями. Почву нельзя представить в виде одной универсальной модели. Но раз нообразные модели помогают нам понять, как она функциониру ет и развивается. Переменные состояния в моделях, описываю щих почвы (запасы вещества, концентрации, численность), неот рицательны.

23

Математическое моделирование в почвоведении

Динамичность. Системы, состояние которых изменяется (дискретно или непрерывно) во времени, называются динамиче скими. Свойства почвы изменяются в соответствии с суточными, сезонными, многолетними и вековыми ритмами. Динамика почв необратима, так как всегда есть наследство истории. Окружающая среда, в которой функционирует почва, также очень динамична. Поэтому для почвоведения особый интерес представляют дина мические модели, описывающие поведение динамических сис тем.

Сложность взаимодействия с окружающей средой. На почву всегда действует не один какой либо фактор окружающей среды, а комплекс факторов. Действие каждого фактора зависит от того, в каком сочетании и с какой интенсивностью действуют другие факторы. Выделяют следующие основные виды воздействия фак торов:

аддитивное – общий эффект действия комплекса факторов равен сумме эффектов каждого из факторов при независимом дей ствии;

синергетическое – общий эффект совместного действия фак торов больше суммы эффектов каждого из факторов при незави симом действии. В результате взаимодействия факторов проис ходит усиление общего эффекта;

антагонистическое – общий эффект совместного действия факторов меньше суммы эффектов каждого из факторов при не зависимом действии. В результате взаимодействия факторов происходит ослабление общего эффекта;

монодоминантное – общий эффект определяется одним из факторов, действие которого значительно превышает влияние всех остальных.

Модели должны отражать сложный характер взаимодействия факторов окружающей среды, влияющих на почвы.

Нелинейность. Почва относится к нелинейным системам. На личие нелинейных связей приводит к сложным режимам функ ционирования систем, определяет их способность к самооргани зации, обусловливает устойчивость и гибкую реакцию на внешние

24

Часть I. Построение математических моделей

воздействия. Линейные модели, основанные на представлении о том, что отклик пропорционален воздействию, не позволяют аде кватно представить сложный характер и многообразие поведения нелинейных систем. Вопросам нелинейного естественнонаучного мышления, лежащего в основе современного естествознания, по священа статья Г.Ю. Ризниченко, опубликованная в качестве при ложения к курсу лекций по математическим моделям в биологии. (Ризниченко, 2002). Применимость теории нелинейных динами ческих систем к почвам обсуждается в статье Филлипса (Phillips, 1998). Между почвой и окружающей средой, а также между поч венными компонентами действуют положительные и отрица тельные обратные связи, которые в большинстве случаев являют ся нелинейными. Для понимания поведения почв и их реакции на изменения внешних условий необходимы модели, описывающие нелинейные взаимодействия.

Иерархичность. Почва является иерархической системой. Это означает, что она обладает структурной организацией, в которой можно выделить соподчиненные структурные уровни. Каждый элемент почвенной системы представляет собой систему, являю щуюся элементом системы более высокого уровня организации. Сама почва представляет собой элемент биогеоценоза – системы следующего более высокого уровня организации. Системы всех уровней организации являются открытыми системами, связанны ми потоками вещества, энергии и информации. Концепция ие рархических уровней структурной организации почвы подробно обсуждается в учебниках А.Д. Воронина (1986) «Основы физики почв» и Б.Г. Розанова (2004) «Морфология почв». Почвообразова тельный процесс также является иерархическим, в котором выде ляются разные уровни процессов по степени их сложности и спе цифичности. Важные следствия концепции структурных уровней организации почвы:

1.исследование почвы требует на каждом структурном уровне ее организации своих методологических подхо дов, методов и моделей;

25

Математическое моделирование в почвоведении

2.познание почвы на каком либо одном уровне ее струк турной организации не дает о ней полной информации, так как при этом остаются непознанными процессы на других уровнях. Только сочетание исследований почвы на каждом из структурных уровней ее организации может дать о ней достаточно полное представление.

Концепция иерархической организации систем тесно связана с проблемой масштаба. Каждый иерархический уровень имеет свой пространственно временной масштаб. В зависимости от вы бора пространственно временного масштаба почва может быть представлена совершенно разными моделями.

Пространственная неоднородность. Почва является анизо тропной системой. Ее свойства изменяются в вертикальном и го ризонтальном направлениях. При моделировании почв и интер претации результатов моделирования всегда необходимо пом нить об их пространственной неоднородности.

Контринтуитивный характер реакции почв на внешние воз действия. Контринтуитивность означает противоречащую ожида ниям реакцию сложной системы на внешнее воздействие. Этот термин был введен известным американским специалистом в об ласти системного анализа Форрестером (Forrester, 1971; Форре стер, 1974). Например, орошение нередко влечет за собой не уве личение плодородия земель, а их засоление и т.п. Контринтуи тивность поведения сложных нелинейных динамических систем связана с невозможностью предсказать их реакцию на изменение условий, опираясь только на знание их поведения в прошлом. Она обусловлена многовариантностью поведения таких систем.

Перечисленные выше особенности почв создают серьезные трудности при их изучении и моделировании.

26

Часть I. Построение математических моделей

1.7. Классификация моделей

Широкое распространение моделирования и многообразие моделей потребовало их упорядочивания. В связи с этим было предложено множество классификаций моделей, в основе кото рых лежат различные признаки их разделения. Модели класси фицируют по целям моделирования, способам реализации, ис пользуемому математическому аппарату и другим характеристи кам. В качестве примера приведем наиболее известные в эколо гии и почвоведении классификации моделей. На рис. I.1.3 пред ставлена схематическая классификация моделей, предложенная В.Д. Федоровым и Т.Г. Гильмановым (1980).

Модели

Рис. I.1.3. Схематическая классификация моделей (по Федорову, Гильманову, 1980).

27

Математическое моделирование в почвоведении

Она построена в форме дихотомий. По способу реализации модели разделяются на реальные и идеальные. Примером ре альной модели может служить почвенная колонка. Проблемы ис пользования реальных моделей связаны с определением степени их адекватности изучаемой системе и с техническими трудностя ми. Гораздо больше возможностей представляют идеальные мо дели, так как они не ограничены возможностями физической реа лизации. Идеальные модели бывают концептуальными и матема тическими. Концептуальная модель это концептуальная структура (система взглядов), в рамках которой мы анализируем факты. Концептуальные модели выражают в словесной (вербальные) и (или) графической (например, в виде диаграмм) форме. Настоя щий курс посвящен обсуждению только математических моде лей.

Математические модели подразделяются на два класса ана литические и алгоритмические (численные, имитационные).

Аналитические модели – результаты представлены в виде аналитических выражений (формул), отражающих функциональ ные зависимости результатов (выходов) от внешних переменных и внутренних характеристик моделируемого объекта. Аналитиче ские модели представляют особый интерес, так как с меньшими вычислительными затратами позволяют изучать фундаменталь ные свойства изучаемого объекта, его качественное поведение (возможно без ЭВМ). К сожалению, аналитическое решение мож но получить только для относительно простых моделей. В боль шинстве случаев приходится использовать алгоритмические под ходы, позволяющие получить лишь приближенное численное решение.

Численные (алгоритмические) модели – результаты пред ставлены в численном виде путем реализации алгоритма реше ния в виде компьютерной программы.

К классу алгоритмических моделей относятся имитационные (портретные) модели. В настоящее время эти модели широко ис пользуются при изучении сложных динамических систем. При по

28

Часть I. Построение математических моделей

строении имитационной модели, как правило, стараются макси мально использовать имеющуюся информацию об изучаемой си стеме и в соответствии с задачами исследования представить все основные взаимодействия между ее компонентами в сочетании с внешними воздействиями. Это модели высокой степени подроб ности с большим числом переменных и параметров. Проведение вычислительных экспериментов на основе имитационной модели позволяет проигрывать различные сценарии поведения системы.

Аналитические и алгоритмические модели относятся к классу статических или динамических в зависимости от того описывают ли они поведение моделируемого объекта во времени. В статиче ских моделях нет временного параметра. Среди параметров ди намических моделей всегда есть временной параметр, они де монстрируют динамику поведения объекта.

По характеру описания динамики моделируемого объекта различают дискретные и непрерывные модели. В дискретных моделях значения переменных состояния определяются только для фиксированных моментов времени, а в непрерывных для всех моментов из рассматриваемого временного интервала.

По степени определенности предсказания модели подразде ляют на детерминированные и стохастические (вероятностные).

В детерминированных моделях значения выходных переменных определяются однозначно с точностью до ошибок вычислений. В стохастических моделях определяются распределения вероятно сти возможных значений выходных переменных, характеризуе мые такими показателями, как математическое ожидание, дис персия и др.

По виду используемых функций модели бывают линейными

инелинейными.

Взависимости от того описывают ли модели изменения пе ременных состояния в пространстве, они относятся к классу про странственно – распределенных или точечных (локальных). На пример, в точечных моделях динамики азота в почве в качестве переменных состояния можно взять усредненные по площади значения концентраций различных форм азота в гумусовом гори

29

Математическое моделирование в почвоведении

зонте. В пространственно распределенных моделях переменные состояния зависят не только от времени, но от пространственных координат. Пространственно распределенные модели динамики азота в почве будут описывать изменения содержания различных форм азота не только во времени, но и с глубиной по профилю почвы, а в более сложном варианте по всем трем пространствен ным координатам.

Г.Ю. Ризниченко (2002) в соответствии с целями моделирова ния подразделяет математические модели в биологии на три больших класса: регрессионные, имитационные и качественные (базовые).

Первый класс – регрессионные модели, которые представ ляют результаты статистического анализа данных, полученных путем наблюдений или экспериментов, в виде эмпирических формул. Они не описывают механизмов изучаемых процессов и не раскрывают причинно следственные связи, что исключает возможность использования регрессионных моделей для усло вий, отличающихся от тех, при которых получены эксперимен тальные данные.

Второй класс – имитационные модели конкретных биосис тем, максимально учитывающие имеющуюся информацию об объекте. Как правило, они построены по модульному принципу. Причем каждый модуль верифицируется до его включения в об щую модель. Имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи – от биомакромолекул до моделей биогеоценозов. Они легки для по нимания, интерпретации и развития. После предварительной ка либровки имитационная модель, построенная для одной систе мы, может применяться для других систем подобного типа. Не достатком этого класса моделей является большая информаци онная емкость и трудности калибровки из за большого числа па раметров.

Третий класс – качественные (базовые) модели. Они пред ставляют основную «минимальную» структуру изучаемых систем. Поэтому для этого класса моделей Н.Н. Моисеевым и

30