мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

Ю.М. Свирежевым (1979) было предложено название «мини мальные модели». Базовые модели направлены на описание ос новных динамических свойств изучаемых систем. Качественное исследование базовых моделей позволяет понять суть явлений, происходящих в сложных системах. Заметим, что математическая формализация минимальной структуры, очевидно, не единствен на, и поэтому для одной системы может быть построено несколь ко минимальных моделей. Почвы и биогеоценозы являются от крытыми для потоков вещества и энергии нелинейными систе мами. Поэтому базовые (минимальные) модели математической экологии представлены нелинейными моделями. Эти достаточно простые, не отягощенные деталями модели позволяют изучать такие общие свойства почв и экосистем как множественность ста ционарных состояний, возможность перехода из одного состоя ния в другое, пространственная неоднородность и квазистоха стичность. Примером минимальной модели в экологии может служить классическая модель экосистемы «хищник жертва», предложенная Вольтерра, который заложил фундаментальные основы теории биологических сообществ, построенной именно как математическая теория. В почвоведении в качестве примеров минимальных моделей можно назвать модель «идеального» подзола (Морозов, 2007) и нелинейные модели динамики орга нического вещества почв (Смагин и др., 2001; Рыжова, 2003).

Несмотря на развитие вычислительной техники, которая уже сегодня позволяет строить и исследовать сложные имитационные модели почв и экосистем, со временем интерес к базовым моде лям будет только возрастать.

Йоргенсен (Jørgensen, 2008) в широком спектре современных экологическихмоделейвыделилследующиеодиннадцатьтипов.

31

Математическое моделирование в почвоведении

1.Биогеохимические и биоэнергитические динамические модели

В основе этого типа моделей лежат законы сохранения веще ства и энергии. Скорость изменения переменных состояния в этих моделях определяется как разность скоростей процессов прихода

ирасхода вещества и энергии. Биогеохимические и биоэнергети ческие динамические модели легки для понимания, интерпрета ции и дальнейшего развития. К их недостаткам относиться необ ходимость в большом объеме информации для их построения и проверки, а также трудности калибровки из за большого количе ства параметров.

2.Статические биогеохимические и биоэнергетические мо

дели

Эти модели не описывают изменений системы во времени. Они используются для представления усредненной по времени ситуации. Могут служить первым шагом в направлении развития динамических моделей.

3.Модели динамики популяций

Тип моделей, описывающих изменение численности популя ции во времени. Первые модели динамики популяций – это ряд Фибоначчи (1202), модель экспоненциального роста Мальтуса (1798). Появившиеся в первой трети двадцатого века классиче ские модели взаимодействия видов В. Вольтерра послужили от правной точкой для множества современных моделей динамики популяций. В настоящее время популяционная динамика являет ся одним из наиболее развитых разделов математической эколо гии.

4. Структурно динамические модели

Модели, описывающие адаптацию экосистем к изменению условий среды путем замены одних видов другими, которые больше соответствуют новым условиям.

32

Часть I. Построение математических моделей

5. Fuzzy модели (модели, основанные на нечеткой логике)

Понятие нечеткой логики было впервые введено Лот фи А. Заде (Zadeh, 1965). В его работах понятие множества было расширено допущением, что функция принадлежности элемента к множеству может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только 0 (полная непринадлежность) или 1 (полная принад лежность). Такие множества были названы нечеткими. Теория нечеткой логики – это раздел прикладной математики, посвящен ный методам анализа данных, характеризующихся высокой неоп ределенностью. Во многих случаях экологическая информация неполная и разнородная. Она включает как количественные, так и качественные данные, а также экспертные оценки с высокой сте пенью неопределенности. Поэтому нечеткие модели представ ляют большой интерес для решения экологических проблем. Возможности и примеры использования этого типа моделей в экологии активно обсуждаются в литературе (Salski, 1992; 1996). Примером эффективного использования этого подхода в почво ведении является модель оценки качества почв по данным о микробной биомассе и энзиматической активности (Tscherko et al., 2007).

6. Искусственные нейронные сети

Для очень широкого круга экологических задач применяются методы, разработанные в теории искусственных нейронных се тей. Они могут использоваться для того, чтобы выявить скрытые закономерности в массивах гетерогенной информации и являют ся эффективным инструментом прогнозирования, когда основаны на достаточно больших базах данных, позволяющих установить и проверить на независимом материале отношения между вход ными и выходными переменными. Примером использования ис кусственных нейронных сетей в почвоведении может служить выделение в почвенных базах данных минимального набора по казателей, влияющих на содержание органического углерода почве (Барцев и др., 2012). А также прогнозирование миграции загрязняющих веществ в почве на основе анализа данных, харак

33

Математическое моделирование в почвоведении

теризующих физико химические свойства почв и условия окру жающей среды (климатические, биологические и геоморфологи ческие) (Коваленко, Кундас, 2009).

7. Индивидуально ориентированные модели

Индивидуально ориентированное моделирование или инди видуум ориентированное от англ. individual based modeling ис пользует подход, в рамках которого основным объектом модели является индивид, представляющий собой уникальную, дискрет ную единицу, у которой есть некоторый набор характеристик, из меняющихся в течение жизненного цикла. Каждый из индивидов взаимодействует с другими индивидами. Модели этого типа строят «снизу вверх», начиная с элементов системы (индивидов).

Модельер определяет поведение только индивидов, а общее поведение системы является результатом совокупной деятельно сти многих индивидов, каждый из которых следует своим собст венным правилам взаимодействия со средой и другими индиви дами. Целью моделирования в этом случае является понимание того, каким образом интегральные свойства системы возникают из множества локальных взаимодействий между ее элементами (индивидуумами).

Индивидуально ориентированные модели, учитывающие по ложение индивидуумов в пространстве, называются пространст венно распределенными. Они могут быть дискретными (про странство представлено в виде дискретной сетки, состоящей из клеток) и непрерывными. Пространственно распределенные мо дели, в которых индивидуумы могут менять положение в про странстве, называется пространственно мобильными индивиду ально ориентированными моделями. Примеры индивидуально ориентированных экологических моделей приводится в моногра фии Г.С. Розенберга (2013).

8. Пространственные модели

Этот тип моделей представляет особый интерес для экологов и почвоведов, так как экосистемы и почвы являются пространст венно распределенными системами. Результаты моделирования

34

Часть I. Построение математических моделей

могут быть представлены в GIS. Недостатки пространственных моделей связаны с очень высокой информационной емкостью и трудностями их калибровки и проверки.

9. Стохастические модели

Стохастические модели учитывают вероятностный характер изучаемых явлений и имеют дело со случайными переменными и функциями.

10. Экотоксикологические модели

Эти модели рассматривают поведение и распределение ток сических компонентов в экосистемах и ландшафтах.

11. Гибридные модели

Гибридные модели можно развивать, комбинируя разные ти пы из вышеперечисленного списка моделей.

Среди классификаций почвенных моделей наибольшую из вестность получила классификация, построенная с учетом иерар хических уровней организации почв (Hoosbeek, Bryant, 1992). Ав торы рассматривают следующие семь иерархических уровней

(табл. I.1.1).

В качестве основного уровня выбран педон. Каждому уровню иерархии соответствуют свой спектр моделей от качественных до количественных и от эмпирических, которые не рассматривают причинно следственные связи, до теоретических, отражающих механизмы и законы (рис. I.1.4).

Табл. I.1.1

Иерархические уровни организации почв (Hoosbeek, Bryant, 1992)

35

Математическое моделирование в почвоведении

Иерархические

уровни

i+3

i+1

i 1

i 2

i 3

Рис. I.1.4. Классификация моделей (по Hoosbeek, Bryant, 1992).

1.8. Требования, предъявляемые к математическим моделям

Для оценки моделей используют три основных показателя: реалистичность, точность и общность.

Реалистичность – это степень, с которой утверждения, полу ченные на основе модели, соответствуют нашим представлениям об изучаемой системе;

Точность – количественная оценка степени совпадения мо дельных и экспериментальных результатов;

Общность – область применимости модели, число различных ситуаций, которые модель отражает.

Эти требования к моделям противоречивы (рис. I.1.5). Повы шение реалистичности и общности, как правило, сопровождается

36

Часть I. Построение математических моделей

снижением точности. Поэтому приходится выбирать оптимальное соотношение этих показателей в соответствии с целями модели рования.

реалистичность

общность точность

Рис. I.1.5. Требования, предъявляемые к математическим моделям (по

Levins, 1968).

37

Математическое моделирование в почвоведении

Глава 2.

Основные этапы математического моде лирования. Неопределенность моделей

2.1. Процедура моделирования

Единый процесс математического моделирования, как пра вило, разбивают на ряд взаимосвязанных этапов. В литературе у разных авторов схемы, представляющие процесс моделирования, немного различаются, но все варианты включают основные этапы моделирования и позволяют реализовать принцип итеративно сти, состоящий в последовательном совершенствовании модели. В процессе моделирования предполагается возвращение с одно го этапа на другой и допускается пропуск некоторых этапов. На рис. I.2.1 представлен один из возможных вариантов процедуры моделирования. Рассмотрим ее шаг за шагом.

1 шаг – постановка задачи

На первом этапе определяется проблема, для решения кото рой предполагается использовать метод моделирования. От вы бора проблемы зависит успех всей работы, так как, с одной сто роны, можно выбрать проблему, не поддающуюся решению ме тодом моделирования, а с другой – взяться за проблему, для ре шения которой не требуется вся мощь этого метода. Определить проблему важно также для того, чтобы сконцентрировать ограни ченные исследовательские ресурсы в заданном направлении. В соответствии с выбранной проблемой устанавливаются цели мо делирования. Модели могут задумываться с разными целями:

1)для организации и четкого, наглядного представления ин формации об изучаемом объекте в соответствии с изучаемой проблемой;

2)для определения исследовательских приоритетов и пла нирования экспериментов;

38

Часть I. Построение математических моделей

3)для определения роли и важности отдельных процессов по отношению к решаемой проблеме;

4)для проверки гипотез о взаимодействиях отдельных эле ментов и подсистем и характере функционирования системы;

5)для оценки устойчивости системы;

6)для прогноза поведения системы при изменении внутрен них характеристик и внешних условий;

7)для выбора оптимального управления в соответствии с вы бранным критерием;

8)для оценки рисков

анализ

концептуализация

чувствительности

модели

верификация

формализация

модели

Рис. I.2.1. Основные этапы процесса моделирования.

39

Математическое моделирование в почвоведении

На этом этапе формулируются основные вопросы, ответы на которые планируют получить с помощью модели. Постановка за дачи представляет особую важность. Широко известно высказы вание Эйнштейна, что правильная формулировка целей и поста новка задачи даже более важны, чем её решение (Розенберг, 2013). Неправильная или неполная постановка задачи может све сти на нет результаты всех последующих этапов.

2 шаг – выбор объекта исследования и сбор данных

В соответствии с поставленными задачами выбирается объект исследования, и определяются его пространственные границы и временной масштаб. Также выясняется место изучаемой системы, как элемента в системе более высокого иерархического уровня. На этом этапе осуществляется первоначальный сбор данных об объекте исследования. Серьезные трудности моделирования в почвоведении и экологии во многих случаях возникают из за не обходимости в большом объеме данных, а также их гетерогенно сти и неопределенности. Гетерогенность обусловлена различным типом и форматом данных (качественные и количественные, временные и пространственные характеристики) и их различны ми источниками. Источники данных могут быть, как объективны ми (результаты наблюдений и экспериментов), так и субъектив ными (экспертные оценки). Неопределенность данных связана с их неполнотой, неточностью из за ошибок измерений, несопоста вимостью в результате различий в методиках измерений или из менений условий наблюдения и субъективностью экспертных оценок.

3 шаг – выбор типа модели

На этом этапе выбирается тип модели, который позволяет решить поставленную задачу. С этой целью рассматриваются и сравниваются опубликованные ранее модели, направленные на решение подобных задач и оценивается качество собранной ин формации об изучаемой системе. Если данных достаточно для экспериментального обеспечения модели, то переходят к сле

40