мат. модел в почв

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Итак, мы использовали сеточную схему расчета для решения дифференциальной задачи, т.е. задачи, содержащей дифферен циальное уравнение. В данном случае, уравнение влагопереноса Ричардса. Сеточные схемы применяются для сведения диффе ренциальной задачи, имеющей континуальный характер, к ко нечной системе уравнений, численное решение которых принци пиально возможно на вычислительных машинах. Однако, под черкнем, такие решения возможны только при точном задании экспериментального обеспечения (дифференциальная влагоем кость С=dθ/dP и функция влагопроводности от влажности), а для расчета динамики температуры – зависимость теплопроводности от влажности.

Отметим, что распределение давлений влаги по глубинам в j й момент времени – это начальные условия для решения про гнозной задачи влагопереноса.

Начальные условия расчета – это пространственное (по про филю почвы) распределение переменной состояния (темпе ратура, влажность, концентрация вещества др.) в начальный (нулевой) момент времени, с которого начинаются расчеты.

Заметим также, что решение приведенной в табл. II.1.1. се точной схемы возможны в следующий (j+1) й момент времени только для i го слоя. Как же рассчитать в (j+1) й момент времени давления влаги в двух других слоях (i 1) и (i+1)? Для этого надо знать давление влаги (или некоторые другие характеристики) на границах рассматриваемых слоев как сверху, так и снизу. Это так называемые «граничные условия».

211

Математическое моделирование в почвоведении

Граничные условия – это задание потоков, градиентов или конкретных значений переменной состояния на верхней и нижней границах почвы в каждый момент времени за рас четный период.

Таким образом, для расчетов по физически обоснованным математическим моделям влагопереноса необходимо не только программа расчета по сеточной схеме, но – главное! – экспери ментальное обеспечение. Таковым для моделей влагопереноса являются:

•Основная гидрофизическая характеристика, ОГХ (послой но для всего профиля)

•Функция влагопроводности (послойно), полученная экс периментально, либо её приближенная аппроксимация по значе ниям коэффициента фильтрации и ОГХ.

•Условия на верхней границе

•Условия на нижней границе

•Начальные условия

Остановимся на этом подробнее в следующей главе.

212

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Глава 2. Экспериментальное обеспечение физически обоснованных моделей влагопереноса

2.1.Почвенно гидрофизическое обеспечение: основная гидро физическая характеристика и функция влагопроводности.

2.2.Педотрансферные функции.

2.3.Модели с учетом преимущественных потоков влаги.

2.4.Начальные условия и граничные условия.

2.5.Математические модели переноса тепла в почве.

В предыдущей главе мы познакомились с физически обосно ванным подходом к расчету одномерного перетока влаги в почве, в основе которого лежит уравнение Ричардса. Что особенно важ но при работе с такого рода моделями? Перечислим эти важные моменты по пунктам:

1.Для каждого почвенного слоя необходимо эксперимен

тально определить основную гидрофизическую характеристику в виде дифференциальной влагоемкости С(θ, Рк с).

2.Для каждого почвенного слоя необходимо знать и функцию влагопроводности Квл(Рк с). Возникает вопрос: как найти величину Квл (Рк с) между двумя соседними слоями? Применяют несколько способов: (1) усредняют саму величину влагопроводности, (2) ус редняют сначала влажность слоев, а затем находят влагопровод ность для усредненной влажности и (3) усреднение с учетом тол щины слоя почвы. Считается, что последний метод дает лучшие результаты.

3.Задается конкретная глубина почвы и указывается срок, для которого надо производить расчет. Действительно, это необхо димо для того, чтобы свести баланс. Глубина почвы указывается в виде верхней (обычно поверхность почвы) и нижней границ.

4.Необходимо задать и условия на нижней границе, иначе невозможно свести баланс. Обычно это либо:

213

Математическое моделирование в почвоведении

–постоянная влажность или давление влаги на нижней гра нице (условие 1 го рода). Его используют, например, при наличии грунтовых вод в нижней части профиля;

–свободный сток или постоянный градиент давления (усло вие 2 го рода). Граничное условие характерно для автоморфных почв с глубоким уровнем грунтовых вод;

–поток через нижнюю границу пропорционален градиенту движущей силы и коэффициенту проводимости (обобщенное гра ничное условие 3 го рода). Это условие обычно используют при наличии на нижней границе плохо проницаемого слоя, в случае поступления грунтовых вод через этот слой.

5. Необходимо задать условия и на верхней границе, иначе невозможно свести баланс. Это условие формулируется в виде приходных и расходных статей: осадки, поливы, испарения и транспирация. В большинстве случаев это величины ежесуточных (декадных и пр.) экспериментальных данных. Для больших терри торий и агроценозов эвапотранспирацию можно рассчитать на основе стандартных метеоданных.

2.1.Почвенно гидрофизическое обеспечение: основная гидрофизическая характеристика

ифункция влагопроводности

Начнем с ввода почвенных гидрофизических данных – пункт 1 и 2. Имеем собственно почвенно гидрофические данные для ка ждого слоя в виде основной гидрофизической характеристики и функции влагопроводности. Вспомним, что основная гидрофизи ческая характеристика (ОГХ) – это зависимость объемной влажно сти почвы (см3/см3 или безразмерная величина) от капиллярно сорбционного давления влаги (см водного столба или другие единицы давления. Часто используется внесистемная единица pF, равная десятичному логарифму модуля давления влаги в см вод ного столба, величина, аналогичная pH в химии). Эксперимен тальное определение ОГХ, θ(h) – это отдельная область физики

214

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

почв. Поэтому мы отсылаем заинтересованных читателей к спе циальной литературе (см., например, учебник Е.В.Шеина «Курс физики почв», 2005).

В процессе работы программы функцию (ОГХ) надо вводить не в виде экспериментальных точек (пар значений функция– аргумент), а в виде функциональной зависимости, которая стати стически наиболее точно описывает экспериментальные данные. Аналогично все происходит и с функцией влагопроводности, K(h). Учитывая, что эти гидрофизические функции нелинейные и раз личаются для разных почвенных объектов, было предложено много зависимостей для описания ОГХ и функции влагопроводно сти. Основная гидрофизическая характеристика имеет некоторые особенности своей формы, которые весьма заметно усложняют её математическое описание. На рис. II.2.1. приведена характер ная форма ОГХ.

Рис. II.2.1. Характерный вид зависимости объемной влажности от дав ления влаги – основная гидрофизическая характеристика, ОГХ

Как видно из рис. II.2.1, она близка к степенной лишь в неко торой области влажности, как правило между влажностью, соот ветствующей влажности входа воздуха в почвенное поровое про странство (давление барботирования), и некоторой остаточной влажностью (влажность формирования слоя прочносвязанной влаги или наименьшая влажность почвы, при которой влага пере

215

Математическое моделирование в почвоведении

двигается в виде капиллярной или капиллярно пленочной фор мы). Кроме того, весьма важным является то, что эта зависимость не просто нелинейна, а еще в весьма малой области капиллярно сорбционного давления быстро достигает значения влажности, близкой к влажности насыщения ( θs ) (рис II.2.1). Учитывая важ ность и значение, которое имеет ОГХ в гидротермических почвен ных моделях, остановимся на основных и наиболее используемых в настоящее время (более подробно см. Глобус А.М. 1987).

Во первых, в большинстве подходов используют приведен ное, или относительное значение влажности почв, Se:

где θi – текущая влажность, соответствующая капиллярно сорбционному давлению влаги Рi; θs – влажность насыщения, ве личина влажности почвы, близкая (но, как правило, не равная) значению порозности, т.е. когда все поровое пространство запол нено водой, θr – остаточная влажность почвы. В большинстве слу чаев указанные влажности определяются как эмпирические пара метрывпроцедуреаппроксимацииэкспериментальныхданных.

Во вторых, чтобы описать «ступеньку» быстрого выравнива ния кривой ОГХ в области от насыщения до давления входа воз духа («давления барботирования»), используют величину «дав ление барботирования». Эта величина позволяет физически обоснованно определить точку перегиба. В современных моделях для описания ОГХ чаще всего используют две функции. Первая, степенная, была предложена Бруксом и Кори. (Brooks and Corey, 1964):

где α – эмпирический параметр, равный величине обратной дав лению входа воздуха, или давлению барботирования.

216

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Вторая наиболее часто используемая функция для описания ОГХ была предложена американским физиком почв ван Генухте ном (van Genuchten, 1980):

где m=1–1/n , n >1 также является эмпирическим параметром, ха рактеризующим крутизну наклона ОГХ. И здесьα – эмпирический параметр, равный обратной величине давления входа воздуха.

Здесь указаны основные функции для описания ОГХ, исполь зуемые в большинстве современных моделей. Желающих более подробно ознакомиться, с различными математическими функ циями для описания ОГХ, отсылаем к монографии А.М. Глобуса

(1987).

Указанные функции относятся только к ОГХ. Но в уравнение Ричардса входит еще одна функция – функция влагопроводности. Поэтому, далее теория гидрологии почв развивалась в следую щем направлении. Известно, что ОГХ в дифференциальном виде представляет собой не что иное, как распределение объемов пор по их радиусам. Влагопроводность почвы также определяется распределением пор по размерам и их заполненностью водой. Поэтому, для получения функции влагопроводности K(Рк с) можно использовать параметры ОГХ и нормирующий фактор, а именно величину влагопроводности при полном заполнении пор почвы водой. Это не что иное, как коэффициент фильтрации или насы щенная гидравлическая проводимость Ks .

Поэтому для функции влагопроводности Брукс и Кори пред ложили следующую зависимость

где Ks – коэффициент фильтрации для данного почвенного слоя, l

– эмпирический параметр, отражающий взаимосвязанность пор почвы (для многих почв принимается значение 0.5).

217

Математическое моделирование в почвоведении

На основе уравнения ван Генухтена и статистическом распре делении объемов пор по размерам, израильским исследователем Муалемом для описания функции влагопроводности была пред ложена следующая зависимость:

Так как при получении этого уравнения были использованы подходы, разработанные ван Генухтеном и Муалемом, это урав нение для функции влагопроводности носит название уравнения ван Генухтена Муалема.

Итак, уравнения Брукса Кори и ван Генухтена позволяют опи сать экспериментальные данные ОГХ гладкими функциями, и ис пользовать параметры аппроксимации для функции влагопро водности. Все эти процедуры (аппроксимации эксперименталь ных данных) выполняются либо в специальных программах рас чета влагопереноса, либо в стандартных математических пакетах (STATISTICA, SIGMAPLOT и др.). В самой программе необходимо будет ввести следующие параметры аппроксимации ОГХ: α и n, отражающие особенности её формы, θr и θs – некоторые мини мальная и максимальная влажности (в пределах которых распо ложена ОГХ, и используется указанная зависимость) и насыщен ная гидравлическая проводимость Ks (коэффициент фильтрации). Рассчитываются эти величины как параметры уравнения ван Ге нухтена при обязательном соблюдении граничных значений.

В современных программах Вы обязательно встретите окно, где необходимо заполнить таблицу почвенных параметров (табл. II.2.1). Для расчета в ней необходимо заполнить все ячейки: оста точная и насыщенная влажности почв, параметры уравнения ван Генухтена и насыщенная гидравлическая проводимость (коэффи циент фильтрации, Ks). Эта таблица, к примеру, для суглинистой почвы (слой 1), подстилаемой супесчаным слоем (слой 2), может иметь следующий вид (табл. II.2.1):

218

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Таблица II.2.1

Пример заполнения гидрологических параметров почвы при модели ровании влагопереноса в слоистой почве

Безусловно, для конкретной исследуемой почвы указанная таблица будет иметь совсем другое наполнение. Но необходимо иметь в виду, что надо строго придерживаться размерностей, ука занных в модели. Как правило, используются следующие обозна чения и размерности: θ – влажность объемная [см3/см3], Рк с, – ка пиллярно сорбционное давление влаги [см водного столба], Ks – насыщенная гидравлическая проводимость [см/сут]. Конечно же могут использоваться и другие размерности. Поэтому следует смотреть в программе модели услугу Help.

В большинстве современных почвенных физически обоснованных математических моделях наряду с указанными в таблице физическими параметрами можно встретить и такие, ко торые, на первый взгляд не имеют отношения к почвенной гид рофизике или теплофизике. Это могут быть содержание физиче ского песка, пыли, глины (гранулометрический состав почв), плот ность почвы, содержание органического вещества. Поэтому необ ходимо разобраться, для чего нужно вводить эти свойства? Какой физический смысл имеют эти почвенные свойства в почвенной гидрофизике?

219

Математическое моделирование в почвоведении

2.2. Педотрансферные функции

Безусловно, сама ОГХ, функция влагопроводности и парамет ры, определяющие форму и положения кривых гидрофизических функций, существенно зависят от таких фундаментальных свойств почв, как гранулометрический состав, содержание органического вещества, плотности почв и др. В таблице II.2.2 предлагаются ори ентировочные величины основных параметров эксперименталь ного почвенного обеспечения в зависимости от гранулометриче ского состава почв.

Таблица II.2.2

Примерные параметры модели Ван Генухтена Муалема для основной гидрофизической характеристики и функции влагопроводности в зави симости от классов почв по гранулометрическому составу

(по Carsel and Parrish, 1988)

220