мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

В этом выражении почему то пропущен рельеф, хотя в тексте доклада отмечается важность этого фактора почвообразования.

Обоснованию приоритета и важности идей В.В. Докучаева для развития современных факторных моделей посвящена статья И.В. Флоринского (2012). Ее появление вызвано тем, что в запад ной литературе не всегда упоминают об основополагающей роли В.В. Докучаева в создании факторной модели.

Ч. Шоу в 1930 году (Shaw, 1930) опубликовал формулу почво образования и представил ее на II Международном конгрессе почвоведов, проходившем в СССР в том же году.

где S – почва, которая формируется из породы (М) под действием климата (С) и вегетации (V) во времени (Т). D – эрозия и осадкона копление.

С.А. Вилде Wilde (1941; 1946) представил почвообразование в виде интеграла следующего вида:

где S – почва; g – геологическая почвообразующая порода; e – влияние окружающей среды; b – биологическая активность; t – время.

Наибольшую известность среди формул, представляющих факторную модель почвообразования в математических симво лах, получило уравнение Г.С. Йенни (Jenny, 1941). Йенни опреде лил почву, как физическую (в смысле природное тело) открытую динамическую систему, состояние которой определяется ее свой ствами, которые можно обозначить символами. Все свойства почв s зависят от почвообразующих факторов. Эта зависимость может быть выражена как:

где cl – климат; о – организмы; r – рельеф; p – почвообразующие породы; t – время. Точки указывают на возможность включения дополнительных переменных. Йенни подчеркнул смысловую

171

Математическое моделирование в почвоведении

разницу понятия «факторы почвообразования» по В.В. Докучаеву, с почвообразующими факторами в выражении (5.4). В этом выра жении они представляют собой не движущие силы почвообразо вания, а только переменные, определяющие состояние почвен ной системы. По определению Йенни почва – это часть верхнего слоя твердой земной поверхности, свойства которой изменяются в соответствии с почвообразующими факторами, как сформули ровано в уравнении (5.4). Он назвал его фундаментальным урав нением почвообразования и отметил, что оно только выглядит простым, но это не так. Факторная модель в формулировке Йенни получила название «CLORPT».

В силу сложности фундаментальное уравнение почвообразо вания не может быть решено, поскольку переменные за исклю чением времени не являются независимыми. Кроме того связи между переменными имеют сложный нелинейный характер. Йенни предложил упростить основное уравнение почвообразо вания и рассмотреть зависимость почвенных свойств от каждого почвообразующего фактора в отдельности при фиксированных остальных. На основе уравнения (5.4) были получены следующие функции:

В литературе можно найти множество эмпирических выра жений для представления этих функций (Yaalon, 1975; Richardson, Edmonds, 1987). В качестве примера на рис. I.5.2 приведены ма тематические функции, обычно используемые для представления хронофункций.

172

Часть I. Построение математических моделей

Свойства почвы

Время

Рис. I.5.2. Математические функции, обычно используемые для пред ставления хронофункций (по Schaetzel et al., 1994).

Примечание: Sigmoid – Сигмовидная, Power –степенная, Logarithmic – Логариф мическая, Exponential – Экспоненциальная, Linear – Линейная.

Факторная модель послужила основой современного про гнозного почвенного картографирования, задачей которого явля ется прогнозирование пространственного распределения почвен ных таксонов и свойств на основе пространственного распределе ния количественных характеристик факторов почвообразования. В цифровом почвенном картографировании используется различ ные математические методы. К ним относятся множественный регрессионный анализ, дискриминантный анализ, геостатистиче ские подходы, нейронные сети, аппарат нечетких множеств и др. При создании цифровых почвенных карт успешно используется модель «SCORPAN» (McBratney et al, 2003). На основе количест венных эмпирических отношений модель предсказывает свойства почв в зависимости от местоположения в ландшафте и его харак теристик.

173

Математическое моделирование в почвоведении

где Sc – почвенная таксономическая единица; Sa – количественная характеристика почвенного свойства; s – другие свойства почвы; c

– локальные климатические характеристики; o – организмы, рас тительность, фауна, человек; r – рельеф; p – почвообразующая порода; a – возраст, n – пространственное положение.

Факторная модель до настоящего времени остается самой известной моделью в почвоведении Она представляет почву как элемент окружающего мира и обеспечивает основу, позволяю щую организовать и использовать комплексную информацию о взаимодействующих с ней системах (атмосфере, гидросфере, ли тосфере и биосфере) для характеристики почв. Факторная модель подразумевает, что связь почв с факторами осуществляется в ре зультате процессов почвообразования, но в явном виде она их не рассматривает. Это является ее основным недостатком.

5.2. Эволюционные модели

Эволюционные модели используются в целях изучения вре менных трендов в развитии почв. Начнем знакомство с ними с широко известной модели Джонсона с соавт. (Johnson, Watson Stegner, 1987; Johnson et al., 1990). Эта модель отражает пред ставления о почвообразовании, как о совокупности разнонаправ ленных процессов одновременно протекающих в почве. Прогрес сивный педогенез включает процессы, которые направлены на развитие и дифференциацию профиля. Он подразумевает увели чение мощности профиля и лучшую выраженность генетических горизонтов. Регрессивный педогенез представляют процессы, приводящие к уменьшению мощности и гомогенизации профиля. В зависимости от условий один и тот же процесс может увеличи вать или уменьшать анизотропность профиля. С течением време ни в почве могут доминировать те или другие процессы. Если до минируют прогрессивные процессы, то увеличивается мощность профиля и выраженность границ между горизонтами. При доми нировании регрессивных процессов профиль укорачивается, а его

174

Часть I. Построение математических моделей

анизотропность снижается. Изменение состояния почвы в ланд шафте во времени не является однонаправленным. Монотонные тренды в развитии почв могут наблюдаться только при длитель ном доминировании прогрессивного или регрессивного педоге неза. В символьной форме модель была представлена следую щим выражением:

где S – почва или свойства почвы, P – прогрессивный педогенез и R – регрессивный педогенез.

Подробное обсуждение модели Джонсона и Ватсона Штегнера с примерами и иллюстрациями приводится в учебнике Шацла и Андерсона «Почвенный генезис и геоморфология»

(Schaetzl, Anderson, 2005).

Джонатан Филлипс (Phillips, 1993) предложил модель для ис следования временных трендов развития почвы в зависимости от различных комбинаций прогрессивного и регрессивного направ лений. В этой модели под развитием почвы понимается увеличе ние мощности профиля и степени преобразования почвообра зующей породы. Почвенное развитие (S) увеличивается в резуль тате прогрессивного (Р) педогенеза и уменьшается под действием регрессивного (R). Из этого следует, что скорость почвенного раз вития определяется разностью скоростей прогрессивного и рег рессивного педогенеза:

dS = dP − dR

(5.7)

dt dt dt

В модели учтена обратная связь между скоростью прогрес

сивного педогенеза dP и развитием почвы S. Скорость прогрес dt

сивного развития педогенеза уменьшается с увеличением S в ре зультате истощения выветривающихся минералов и снижения скорости выветривания с ростом глубины профиля. Для описания этой зависимости выбрана экспоненциальная функция:

175

Математическое моделирование в почвоведении

где с1 – коэффициент, характеризующий максимальную скорость прогрессивных педогенных преобразований; k1 – :коэффициент, описывающий уменьшение скорости прогрессивного педогенеза с развитием почвы. Подобным образом представлена зависи

где с2 – коэффициент, характеризующий максимальную скорость регрессивного педогенеза; k2 – коэффициент, описывающий уменьшение скорости регрессивного педогенеза с развитием почвы. Вероятно, в большинстве случаев k2 допустимо не учиты вать.

Уравнение (5.7) можно представить в разностной форме:

состояния почвы, произошедшие в результате соответственно

Уравнение (5.10) с учетом (5.11) может быть решено числен но, при этом шаг по времени в зависимости от конкретных усло вий может быть любым от десятков до сотен лет.

Результаты проведенных расчетов, с использованием реали стичных значений параметров демонстрируют сложный характер изменения состояния почвы со временем. В силу нелинейности модели решение очень чувствительно к изменению начальных условий и значений параметров. При разных сочетаниях значений

176

Часть I. Построение математических моделей

параметров возможно как однонаправленное движение к ста ционарному состоянию, так и периодический режим или режим детерминированного хаоса. Эти результаты помогают интерпре тировать эмпирические данные. Так, например, высокая вариа бельность изменчивости развития профиля на одном из участков прибрежной равнины в Северной Каролине, где почвообразую щие факторы относительно постоянны, может быть объяснена проявлением детерминированного хаоса. Таким образом, слож ный путь эволюции почв связан не только с непостоянством усло вий окружающей среды, но и нелинейными взаимодействиями в самой почве. Эволюционные модели служат эффективным инст рументом, помогающим понять и объяснить сложный характер динамики почв.

5.3. Процессные модели

Концептуальную основу математических процессных моде лей педогенеза представляет модель Роя Симонсона (Simonson, 1959). Схематически она представлена на рис. I.5.3.

Известные процессные модели педогенеза условно можно разделить на две группы. Первую представляют ландшафтные модели, развитые в геоморфологии. При построении моделей эволюции ландшафта, возникла необходимость связать латераль ный перенос вещества в результате эрозии с процессом почвооб разования, так как направление и скорость геоморфологических процессов сильно зависят от свойств почв и характера раститель ного покрова. В этих моделях почва представлена не разделенной на горизонты толщей, мощность которой изменяется во времени в результате двух основных процессов: выветривания почвообра зующей породы и эрозии. Ландшафтные модели отражают пре образование и перемещение только твердой фазы почвы и не описывают явно циркуляцию воды и растворенных веществ в почве. Модели второй группы сосредоточены на описании обра зования и развития почвенного профиля. Назовем их профиль

177

Математическое моделирование в почвоведении

ными. Как правило, для простоты предполагается, что поверх ность почвы статична. В этом случае моделируется дифференциа ция исходно условно однородной почвообразующей породы на горизонты или описываются изменения уже существующего поч венного профиля в процессе эволюции. В этих моделях в явной форме описаны потоки воды и растворенных веществ в почве. Познакомимся с ландшафтными и профильными моделями педо генеза на конкретных примерах.

Поступление

Поступление

Миграция

Трансформация

Вынос

Вынос

Рис. I.5.3. Графическое представление модели Симонсона.

Вкачестве примера ландшафтной модели мы выбрали про стейший вариант модели почвообразования и развития ландшаф та (Minasny, McBratney, 1999).

Вэтой модели рассматривается ландшафт с высотой поверх ности z почвенным слоем мощностью h и границей раздела почва

–порода e вдоль горизонтальной оси x (рис. I.5.4). Предполагается, что скорость почвообразования зависит от

скорости выветривания подстилающей породы в результате фи зических, химических и биологических процессов, за счет чего опускается граница раздела почва – порода.

178

Часть I. Построение математических моделей

Изменение мощности почвенной толщи = выветривание + (привнос – вынос) вещества в результате эрозии.

Поверхностьпочвы

Почва

Подстилающая порода

Рис. I.5.4. Простейшая модель почвообразования в ландшафте (по

Samouelian, Cornu, 2008).

Уравнение неразрывности, выражающее закон сохране ния в математической форме, в этом случае имеет вид:

где h – мощность почвенного слоя; (∂e/∂t) – скорость выветрива ния; qs – поток вещества; ρs – плотность почвы; ρr – плотность по роды;

Предполагается, что скорость физического выветривания (∂e/∂t) экспоненциально убывает с увеличением мощности поч венной толщи (h):

179

Математическое моделирование в почвоведении

где P0 – потенциальная (или максимальная) скорость выветрива ния породы, а k1 – эмпирический коэффициент.

Уменьшение скорости выветривания с увеличением мощно сти почвы связано с экспоненциальным снижением амплитуды колебаний температуры с глубиной, а также с просачиванием во ды в почву и процессами ее замораживания и оттаивания. Пара метры P0 и k1 определяются климатом и свойствами почвообра зующей породы. Значения P0 варьируют 0.08 до 2.0 мм в год в Се верной Калифорнии и от 0.05 до 0.14 мм в год в юго восточной Австралии. Средние значения параметра k1 составляют 2 4 мм в год.

Перемещение вещества в ландшафте обычно рассматривает ся диффузионным. В этом случае поток вещества определяется следующим образом:

где qs – поток вещества, которое перемещается по склону че рез единицу площади в единицу времени; D – эрозионная диффу зия. Она зависит от физических свойств почвы, характера расти тельного покрова и погоды.

Подставляя (5.14) в уравнение неразрывности (5.12) и пола гая, что D и ρs не изменяются в пространстве, получим уравнение почвообразования:

ние мощности почвенной толщи в единицу времени зависит от

180