мат. модел в почв

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Огюстен́Луи́Коши́(21 августа 1789, Париж — 23 мая 1857, Со, Франция) также занимался проблемами физики, но в основ ном, механикой. Он заложил основы математической теории упругости. Коши рассматривал тело как сплошную среду и вы вел систему уравнений для напряжений и деформаций в каждой точке. В работах по оптике Коши дал математическую разра ботку волновой теории света и теории дисперсии. Но известен он, прежде всего, как великий французский математик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий. Удивительно другое: в современных прогнозных математических моделях нижнее граничное условие обычно задается в виде тех природ ных физических процессов, которые там происходят. Например, в программе PEARL для расчета миграции пестицидов есть ме ню с нижними граничными условиями, в котором приведены та кие процессы, как свободный дренаж, изменяющийся во времени уровень грунтовых вод, лизиметрическая граница и др. Они опи сывают природные явления оттока/притока влаги. Но есть одно условие, написано просто – Cauchy; предполагается, Вы знаете, что под этим понимается. Знать должен даже чело век, не разбирающийся в математических моделях, а исполь зующий тот самый PEARL для применения пестицидов на своем сельскохозяйственном поле. Вот насколько велик авторитет этого француза! В Париже, на первом этаже Эйфелевой башни представлена галерея великих людей Франции. Когда будете там, поклонитесь великому математику и физику Огустену Луи Коши.

Условие II рода, «закрытое». Это условие касается задания потока влаги на нижней границе, оно было предложено немец ким математиком Карлом Готфридом Не́йманом. Условие выра жает отсутствие потока влаги на нижней границе, которое в при роде наблюдается очень редко: если рассматриваемая толща

231

Математическое моделирование в почвоведении

почвы лежит на водоупоре, на непроницаемых глинах или мас сивно кристаллической породе. Хотя в этом условии полное от сутствие потока вовсе не обязательно.

Рассмотрим ряд специальных случаев условия Неймана:

1.Свободный отток влаги с нижней границы почвы. Он возни кает, когда в нижней части рассматриваемого почвенного профиля наблюдается постоянный градиент, равный едини це. Это свободный отток или свободный дренаж, – условие, которое часто используется в хорошо дренируемых авто морфных почвах;

2.Лизиметрическая граница. Лизиметр, как известно, такое устройство, которое открыто, либо специальным образом дренируется снизу. Простая колонка с почвой, где проводит ся, например, фильтрационный эксперимент, в котором со бирается фильтрат с нижней открытой границы – это лизи метр. Лизиметром являются также большие монолиты, с нижней границы которых собирают профильтрованный поро вый раствор. Отсюда и название – «лизиметр», измеряющий водорастворимые соединения. На нижней границе такой ко лонки или монолита скапливается влага, не стекающая до по ры до времени за счет капиллярных менисков. Но когда столб скопившей влаги превысит силы капиллярных менисков, из колонки или монолита вытечет определенная порция воды, потом вода снова начнет накапливаться. Этот сток на нижней границе будет определяться высотой столба скопившейся влаги, который и задают в модели на нижней границе почвы в этом случае.

3.Удельный поток влаги [см3/(см2 сут)], который точно задан в виде некоторой функции от времени.

232

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Условие III рода (условие Коши) или «потоковое» условие:

При этом условии влага капиллярно подпитывает нижележа щий слой, имеющий начальную влажность θ0 . Это уникальное условие, которое носит имя великого французского математика Огюстена Луи Коши (см. «К вопросу о…»). Его используют, когда влага поступает из расположенных вблизи нижней границы грун товых вод. Это характерно для луговых почв, для дренируемых гидроморфных почв. Иногда это условие выступает в виде так на зываемого «псевдодвумерной» нижней границы, когда грунтовые воды залегают глубже, чем дренаж для поверхностного стока или временного переувлажнения. Этот случай весьма важен при рас четах переноса в грунтовые воды токсикантов, загрязнителей. В случае же залегания горизонтального дренажа величина подто ка/оттока через нижнюю границу рассчитывается по формуле С. Хугхаудта (Зайдельман, 2003) или уравнению ван Шилфгарде, который просто активно вводил уравнение Хугхаута в агрономи ческую практику для расчета дренажа в США. В этом случае сле дует дополнить граничные условия некоторыми специальными данными о строении профиля почвы (гомогенный, слоистый и пр.), междренном расстоянии, входном сопротивлении дрен и др.

Широко используемое в мелиорации и при расчетном математическом моделировании уравнение Хугхаудта

(Hooghoudt, 1940) имеет следующий вид:

где qdrain – это скорость расхода дрены [см/сут], Kф top и Kф slot – го ризонтальная фильтрация над и под дреной [см/сут], hdr – уровень грунтовых вод над дреной в междренном пространстве [см], Ldr – пространство между дренами, γentr – сопротивление движению

воды на входе в дрену и Deq – эквивалентная глубина [cм].

233

Математическое моделирование в почвоведении

У Хугхаудта Deq – функция от Ldr, глубины до непроницаемого слоя и радиуса дрены. Такое значительное количество дополни тельных аргументов, безусловно, осложняет задачу. Если же дре на расположена в гомогенном грунте непосредственно на непро ницаемым слое, то приведенное выше уравнение упрощается до:

Имеются и другие, в том числе аналитические, решения для сложного почвенного профиля. Но для нас важно, что в любом случае, это нижнее граничное условие в виде потока влаги в дре ну обязательно включает в качестве экспериментального обеспе чения коэффициенты фильтрации выше и нижележащей толщ, а иногда и Кф вертикального и горизонтального потоков. Эти вели чины составляют основу экспериментального обеспечения моде лей.

Таковы основные правила выбора граничных условий, от ко торых в наибольшей степени зависит результат расчета. Повто рюсь, выбор граничного условия зависит от правильной оценки той природной почвенно гидрологической ситуации, которую мы хотим моделировать, а правильность оценки – от знаний по поч воведению, физике, гидрологии и мелиорации почв. Поэтому, от сылаем вас к дополнительной литературе по этим предметам.

234

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

2.5. Математические модели переноса тепла в почве

2.5.1. Основное уравнение теплофизики и его использова ние в математических моделях теплопереноса в почвах

Поток тепла в почве описывается законом Фурье, который связывает поток с градиентом температуры через коэффициент пропорциональности – теплопроводность, λT:

q = −λ ∂T ,

T ∂z

где qT – поток тепла в почве [кал/см2∙сут], λT – коэффициент тепло проводности [кал/см °С сут или Дж/см∙°С, либо Вт/м∙К], который равен количеству тепла (в кал или Дж), прошедшего в единицу времени (сут или секунду) через единичное сечение почвы (см2 или м2) при единичной толщине слоя почвы (1 см или 1 м) и при

разнице температур в 1 °С (или 1 °К). [кал/см∙С°∙сут], ∂T – гради

∂z

ент температуры [°С/см]. Здесь следует отметить, что речь идет об установившемся, стационарном потоке тепла в почве, как и в случае с уравнением Дарси. Только для этих условий справедливо уравнение Фурье. Основным теплофизическим свойством, как следует из этого уравнения, является параметр теплопроводности

–коэффициент теплопроводности.

Впочве, как известно, перенос тепла происходит по четырем основным механизмам: (1) кондукция – перенос тепла при непо средственном контакте частиц друг с другом; (2) конвекция – про гревание за счет струйчатого перемешивания жидкой и газооб разной фаз; (3) перенос «скрытой теплоты» (теплопароперенос)

–перенос тепла совместно с парами воды, образующимися (с по терей тепла) в одной малой области почвы и конденсирующими ся (с выделением тепла) в другой и (4) прямого инфракрасного излучения. Механизм переноса тепла и соответственно теплопро водность зависит от величины влажности почвы. В сухой почве, теплоперенос будет обусловлен лишь отдельными немногочис

235

Математическое моделирование в почвоведении

ленными контактами (кондукция). По мере образования водной пленки, частицы приближаются друг к другу, но имеется и сво бодное поровое пространство (кондукция и пароперенос). При дальнейшем увеличении влажности теплопроводность будет воз растать уже слабо, в основном за счет свободной циркуляции жидкости (конвекция). Максимальная теплопроводность обычно наблюдается при влажности в диапазоне влажность разрыва ка пиляров − наименьшая влагоемкость (ВРК НВ). Поэтому и зави симость коэффициента теплопроводности от влажности носит ха рактер, близкий к экспоненциальному, когда в диапазоне ВРК НВ, кривая выполаживается, приближаясь к максимальным значени ям. Таким образом, она имеет вид близкий к логарифмической или сигмоидной функции в зависимости физических особенно стей почв (см. главу. 3.2).

2.5.2. Теплофизические почвенные параметры: теплоемкость, температуропроводность

Если мы интересуемся прогреванием почвы, т.е. увеличением температуры отдельного ее слоя со временем, нам необходимо знать не только теплопроводность, но и количество тепла, необ ходимого для нагревания одного грамма (или см3) почвы на один градус. А это уже следующее теплофизическое свойство – тепло емкость.

Теплоемкость единицы массы тела называют удельной теп

лоемкостью и обозначают Сm, [кал/г град]; теплоемкость единицы объема называют объемной теплоемкостью и обозначают Сv,

[кал/см3 град]. Соответственно, объемная теплоемкость численно равна количеству тепла, необходимого для нагревания одного см3 почвы на 1°С; удельная – количеству тепла, необходимому для нагревания одного г почвы на 1°С. Понятно, что объемная и удельная теплоемкости будут связаны соотношением

Cv =Cm ρb ,

где ρb – плотность почвы.

236

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

Теплоемкость – величина аддитивная, т.е. теплоемкость почв складывается из теплоемкостей составляющих ее фаз. Физически это вполне понятно – тепло равномерно будет распределяться в трехфазной почвенной системе по всем фазам, нагревая их в со ответствии с теплоемкостью и долей каждой из фаз в почве. Если мы обозначим объемные доли твердой фазы, воды и воздуха че рез fs, fw, fa, то в сумме они составят 1. Каждая из фаз имеет соот ветствующую объемную теплоемкость: твердая фаза, Сvs, в сред нем – 0.48 кал/см3∙°С, вода, Cvw, – 1, а воздух, Cva, – всего лишь 0.003 кал/см3∙°С. А теплоемкость почвы в целом составит уже

Cv = fsCvs + fwCvw + faCva .

Хорошо известно, что твердая фаза в почве состоит из мине ральной и органической части. Отметим, что объемная теплоем кость органических веществ в 1.25 раза выше, чем минеральных. В большинстве минеральных почв органическая компонента не превышает 0.05–0.10 см3/см3 (или около 2.0–4.2 % в традицион ном выражении в виде процентов органического вещества к аб солютно сухой массе почвы). Поэтому при расчетах почвенной теплоемкости не требуется разделять органическую и минераль ную компоненты, взяв значение доминирующей минеральной – 0.48 кал/см3∙°С. А вот в органогенных почвах и торфах органиче ская компонента может значительно превалировать над мине ральной. И с различием их теплоемкостей надо считаться. Для этого вводят еще объемные доли минеральной части fm и органи ческой forg, которые в сумме составляют объемную долю твердой фазы почвы fs. Отметим также, что теплоемкость воздуха несрав ненно мала по сравнению с другими компонентами, и этой со ставляющей теплоемкости почвы можно пренебречь. Следова тельно, уравнение теплоемкости почвы будет иметь следующий вид:

Cv = 0.48 fm +0.6 forg + fw .

237

Математическое моделирование в почвоведении

Этим уравнением можно пользоваться для расчета теплоем кости почвы и при различной влажности, и при изменении со держания органического вещества. Надо только помнить, что оно справедливо для объемной теплоемкости, когда все компоненты представлены в объемных долях [см3/см3], а теплоемкости – в [кал/см3 °С]. Из уравнения следует и то, что теплоемкость почвы будет линейно повышаться с увеличением влажности. Это выра жается в линейной зависимости объемной теплоемкости от удельной теплоемкости сухой почвы (Cm) и влажности (W):

Cv = Cm + 100W ρb ,

которая, подчеркнем, справедлива в данном виде для системы

единиц СГС.

В большинстве случаев нас интересует, как быстро прогрева ется почва, как растет (или уменьшается) температура ее слоев. В конечном счете, для всей почвенной биоты наиболее важно, какова температура почвы, как изменяется температура почвы со

∂T

временем ∂t . Динамика температуры, как и динамика солей,

будет определяться градиентом температуры по расстоянию:

численно равен повышению температуры, которое произойдет в единице объема почвы при поступлении в нее тепла (теплопро водность) и отражает способность почвы проводить температур ную волну. Заметим, что размерность температуропроводности [см2/сут, см2/с] совпадает с коэффициентом диффузии для солей. Поэтому нередко величину κ называют термодиффузивностью. Понятно, чем выше температуропроводность почвы, тем быстрее она будет проводить температурный поток, быстрее будет повы

238

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

шаться температура нижних слоев и проникать вниз «темпера турная волна». То есть почва будет быстрее прогреваться.

Температуропроводность почвы, так же, как и теплопровод ность, существенно зависит от ее влажности. Характер этой зави симости определяется взаимодействием твердой, жидкой и газо образной фаз почвы и имеет, как правило, максимум в области от ВРК до НВ (рис. II.2.3).

Рис. II.2.3. Зависимости теплофизических параметров от влажности почвы

Вфизически обоснованных моделях теплофизический блок представлен, как правило, зависимостями теплопроводности или температуропроводности от влажности. Как мы видим из рис. II.2.3, эти зависимости нелинейны и требуют аппроксимации не линейными функциями.

Вцелом решение этого уравнения происходит аналогично решению уравнения Ричардса: разбивается послойная сетка, рас сматриваются совместно уравнения баланса тепла и теплопере носа, как это представлено в табл. II.2.3. В этом случае использу ется основное уравнение теплопереноса, а в качестве экспери ментального обеспечения выступают начальное распределение температуры в слоях i 1, i и i+1, а также зависимость теплопро водности (или температуропроводности) и теплоемкости от

239

Математическое моделирование в почвоведении

влажности и содержания органического вещества. Объемная теп лоемкость (Сv) при этом рассчитываются по вышеприведенному уравнениюCv = 0.48 fm +0.6 forg + fw .

Согласно основному уравнению теплопереноса, изменение температуры со временем, пропорционально второй производ ной температуры по расстоянию, коэффициентом пропорцио нальности служит коэффициент температуропроводности. Анали тическое решение этого уравнения затруднительно, либо накла дывает много дополнительных условий, которые трудно учесть для почвы. Поэтому мы опять используем сеточную схему расче та, при известных начальных и граничных условиях. Запишем ос новное уравнение теплопереноса в конечных разностях:

Рассмотрим пример расчета по сеточной схеме в табл. II.2.3. У нас рассматриваются три соседних слоя (i 1, i, i+1). В j й момент времени температура в этих слоях Ti−j 1 ,Ti j и Ti+j 1 . Это начальные условия расчета. Кроме того, условимся, что нам известна темпе ратуропроводность на границах тех участков почвы, по которым

240