мат. модел в почв

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

всегда в основе должен лежать физический закон: законы ба ланса, Дарси, Фурье, Фика и многие другие. В любом случае ма тематическая модель начинается с физики явления.

Отметим отдельно характеристику потока. В балансовом уравнении мы записали зависимость, удельного потока (или по верхностную плотность потока) вещества или энергии (размер ность [г/(см2 сут)] или [кал/(см2 сут)]) от градиента движущей си лы. В самом общем случае потоком массы (энергии) называют массу, переносимую в единицу времени через заданную поверх ность. Размерность будет соответствующая – [г/сут]. Это и будет интегральным потоком. А вот для оценки потока через отдельные элементы поверхности вводится понятие об удельном потоке (по верхностной плотности потока) как о потоке через единицу пло щади поверхности. Вот эту характеристику потока мы и будем ис пользовать. Нередко, в науках о Природе, говоря о потоке, ис пользуют понятие удельного потока. Эта традиция сложилась ис торически. В дальнейшем мы тоже будем использовать понятие удельного потока, имеющего для удельного потока массы раз мерность [г/(см2 сут)], а для энергии [кал/(см2 сут)].

В итоге мы имеем два фундаментальных закона – закон ба ланса и закон переноса, которые нередко называют феноменоло гическими (от греч. phainomenon – данный нам в чувственном ощущении). Вся история развития человечества и науки о Приро де не отрицают этих законов, их применимость вне сомнений. Используем эти два закона для описания движения влаги в насы щенной и не насыщенной влагой почве (во всем диапазоне влаж ности).

201

Математическое моделирование в почвоведении

1.2. Основное уравнение влагопереноса – уравнение Ричардса

Остановимся на описании движения влаги в почве. Движение воды – это основа для понимания всех других динамических про цессов в почвах. С водой движутся ионы, микроорганизмы, орга нические вещества, коллоиды и пр. Поэтому во всех моделях водный блок – основной, его описание и устройство один из са мых важных разделов моделирования.

Известно, что движение воды в почве описывается законом Дарси. Для насыщенной влагой почвы этот закон записывается как:

qw =Kф lh

где qw – поток влаги в почве (размерность: см водного слоя/сут),

равлическим градиентом, т.е. отношением гидравлического на пора, перепада высот h к длине колонки l. Фактически гидрав лический градиент – это потеря напора воды на единицу длины фильтрующей колонки. Гидравлический градиент величина без размерная, а Кф и qw имеют одинаковые размерности.

Но фильтрация – это процесс движения влаги в насыщенной влагой почве. Для того чтобы описать движение влаги в ненасы щенной почве было предложено понятие давления влаги. Эта ве личина характеризует степень связи воды с почвенной матрицей. Вода в почве подвержена действию сил различной природы, ко торые понижают её энергию по сравнению со свободной чистой водой. Это капиллярные и сорбционные (капиллярно сорбционные), осмотические и гравитационные силы. И чем они больше, тем ниже давление влаги в почве. А вода всегда течет от большего давления влаги к меньшему, т.е. под действием сум марного градиента указанных давлений влаги – капиллярно

202

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

сорбционного, осмотического и гравитационного. В незасоленных почвах перепад осмотического давления не учитывают, так как различия в концентрации растворенных веществ (осмотическое давление) в почве довольно быстро исчезает за счет процессов диффузии ионов. Поэтому считается, что в почве в переносе влаги участвуют капиллярно сорбционное (Рк с) и гравитационное (Ргр) давление. Итак, в не насыщенных влагой почвах (а это состояние встречается в почвах наиболее часто) необходимо использовать не само уравнение Дарси, а «модифицированное уравнение Дар си», в котором вместо перепада гравитационного давления ис пользуют градиенты капиллярно сорбционного и гравитационно го давления влаги, а вместо коэффициента фильтрации использу ют функцию влагопроводности (ненасыщенная гидравлическая проводимость). Коэффициент влагопроводности, хотя и имеет ту же размерность, что и коэффициент фильтрации [см/сут, м/сут, мм/мин и пр.] и характеризует способность почвы проводить по ток влаги, не является величиной постоянной, и зависит от давле ния влаги (или влажности). Эта нелинейная зависимость и носит название функции влагопроводности.

Функция влагопроводности – зависимость коэффициента влагопроводности (ненасыщенной гидравлической проводи мости, Квл) от капиллярно сорбционного (Рк с) давления поч венной влаги или от влажности почвы (θ): Квл = f (Pк с ,θ) . Не редко обозначают его Квл (Рк с) или Квл(θ).

Вид графика функции влагопроводности весьма характерен (рис. II.1.2): способность почвы проводить поток влаги при уменьшении давления уменьшается на несколько порядков. Так, при уменьшении давления от 0 до –150 (–600) см водного столба в суглинистых почвах коэффициент влагопроводности суглини стой почвы уменьшается на 1–2 порядка, от 500–10000 см водн.ст.

– на 2–4 порядка по сравнению с коэффициентом фильтрации (влагопроводность почвы при полном насыщении). Это совер

203

Математическое моделирование в почвоведении

шенно определенно указывает, что сухая почва будет проводить воду значительно хуже, чем влажная.

Рис. II.1.2. Функция влагопроводности (ненасыщенная гидравлическая проводимость) – зависимость коэффициента влагопроводности (Квл) от капиллярно сорбционного давления влаги (pF)

Для нас очень важно, что функция эта нелинейная, резко уменьшающаяся при падении давления влаги в почве. Кроме то го, учитывают, что перепад гравитационного давления ( ∂Pгр ) на расстоянии z равен этому расстоянию. Поэтому при выражении гравитационного давления в тех же единицах, что расстояние,

градиент гравитационного давления равен единице, т.е. dPгр =1 . dz

Но поскольку за положительное направление движения влаги выбрано движение вверх, к поверхности почвы, то при движении влаги вниз, которое вызывает гравитационное давление,

204

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

dPгр = −1 . И в этом случае модифицированное уравнение Дарси dz

можно записать:

Учитывая, что поток влаги есть изменение объемной влажно сти ∂θ за период времени ∂t, в случае одномерного вертикально го потока это уравнение записывают либо в векторном виде, либо в обычной форме

Кроме того, для переноса в вертикальном направлении, когда градиент гравитационного давления равен 1 (уточним – при оди наковых единицах измерения расстояния и давления), можно за писать:

Нетрудно заметить, что в этом уравнении две переменные – влажность ( θ) и давление влаги (Рк с). Решения его даже специ альными методами невозможно. Надо привести уравнение к од ной переменной. Для этого вводят понятие дифференциальной

влагоемкости C(θ,Pк с) ) = dθ dPк с

ментально или другими способами получая основную гидрофизи ческую характеристику ОГХ («кривая водоудерживания», «water retention curve») – зависимость объемной влажности почв от ка пиллярно сорбционного давления. Вследствие важности ОГХ, из вестные российские физики почв Александр Миронович Глобус и Анатолий Данилович Воронин, назвали эту зависимость «основ ной гидрофизической».

205

Математическое моделирование в почвоведении

К вопросу о….

Считается, что основой современных почвенных матема тических моделей были работы начала 70 х годов доктора Шломо Ноймана и сотрудников Израильского института тех нологий Технион в Хайфе, Израиль. Они разработали свою мо дель UNSAT задолго до введения персональных компьютеров. В модели использовали метод конечных элементов, основанный на классическом уравнении Ричардса (Richards, 1931), в не насы щенных влагой почвах. В дальнейшем модель была дополнена корневым потреблением влаги. Дополнение было основано на теории водного питания растений, разработанной Р.Феддесом в Вагенингене (Ниделанды). Позднее, в 90 х годах прошлого сто летия Шимунеком и ван Генухтеном была разработана модель CHAIN_2D, в которой моделировались процессы переноса рас творимых веществ на основе конвективно дисперсионного уравнения переноса. В эту модель были включены описания не линейных неравновесных реакций между твердой и жидкой фа зами, линейных реакций равновесия между жидкой и газообраз ной фазами, кинетические реакции распада (нулевого и первого порядка). Это дало возможность развивать модели переноса радионуклидов (ван Genuchten, 1985), удобрений (например, Хан сон и др., 2006), пестицидов (Wagenet, Hutson, 1987) и других сложных органических веществ (Schaerlaekens и др., 1999). Важ ным достижением уже под WINDOWS стала программа HYDRUS (Simunek, Sejna, van Genuchten, 1999), которая, безусловно, явля ется одной из этапных физически обоснованных моделей дви жения воды и веществ в почвах. Эта программа позволяет считать перенос влаги, растворимых веществ, тепла в нена сыщенных водой почвах, используя уравнения гидрофизических функций, которые были предложены ван Генухтеном (1980), Брукс и Кори (1964), и модификации аналитической функции ван Генухтена (Vogel, Cislerova, 1988). Кроме того, в ней учитыва ются: (1) гистерезис основной гидрофизической характеристи

206

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

ки, (2) конвективный перенос тепла и (3) тип переноса с учетом двойной пористости, что чрезвычайно важно для прогнозиро вания переноса токсикантов в почвах. Со всеми этими моделя ми почвенных процессов мы познакомимся в этом учебнике.

Надо отметить, что в России, как и в Советском Союзе, развитие математического моделирования шло практически параллельно, а в некоторых разделах (например, теплофизика почв) даже опережая. Так, уже в 70 х годах в ленинградском Аг рофизическом институте под руководством С.В. Нерпина, А.Ф. Чудновского, Р.А. Полуэктова и других ученых из АФИ заклады ваются основы моделирования переноса тепла в почвах, под ру ководством А.М. Глобуса создается мощная база для экспери ментального обеспечения моделей переноса влаги в системе «почва–растение–атмосфера». Создаются первые программ ные комплексы, позволяющие рассчитывать передвижение вла ги и солей в почвах. Это работы группы Я.А. Пачепского из Ин ститута почвоведения и агрохимии РАН в Пущино и коллектива из Всесоюзного института гидротехники и мелиорации, где по являются модели Л.М.Рекса и А.М.Якиревича и другие. В 80 х го дах эти модели используются в Гипроводхозах южных регионов

СССР для прогноза водно солевого режима почв и оптимизации орошения. Важным этапом можно считать создание про граммного комплекса моделей группой Я.А. Пачепского из Пущи но (Я.А. Пачепский, А.А. Понизовский, Е.В. Мироненко, Р.А. Щер баков и др.). Это модели MOIST, FAUST, программные продукты для аппроксимации гидрофизических функций SOMPAR, про грамма для расчета солевых равновесий LIBRA и ряд других. Был достигнут весьма высокий уровень математических моделей, способных давать кратко и среднесрочные прогнозные расче ты при различных граничных условиях. К сожалению, постепен ное отставание в информационных технологиях, а затем и общее снижение уровня российской науки привело к тому, что конкурировать с западными продуктами, выполняемыми груп пами по большим международным проектам, стало невозмож

207

Математическое моделирование в почвоведении

но. Поэтому теперь мы пользуемся, в основном, программными продуктами, произведенными в США, Европе, Израиле. Однако, не следует забывать, что фундаментальная школа моделиро вания создавалась и в России. Следует помнить, что основы моделирования в гидрологии были заложены С.В. Аверьяновым, А.Д. Ворониным, А.И. Головановым, конвективной диффузии – А.Е. Орадовским, А.Н. Остряковым Н.Н. Веригиным, И.А. Айдаро вым, модельное описание продуктивности сельскохозяйствен ных растений – группой Р.А. Полуэктова (Агрофизический ин ститут, Санкт Петербург) и рядом других российских ученых.

В результате подстановки в уравнение влагопереноса диффе ренциальной влагоемкости, мы получаем запись основного урав нения движения влаги, которое и носит название уравнения Ри чардса. Для ненасыщенной почвы уравнение Ричардса можно за писать с использованием дифференциальной влагоемкости:

где ±I (z,t) – это член «источник/сток», т.е. либо добавочное по явление воды в рассматриваемом слое, либо, напротив (со зна ком минус) её исчезновение. Обычно, добавочное появление вла ги в почвенном слое не рассматривается, т.к. физически это не очень существенный процесс при одномерном рассмотрении, связанный, например, с конденсацией влаги. А вот исчезновение влаги (–I) вполне весомый процесс, связанный с потреблением влаги корнями растений и её расходом на транспирацию. Этому процессу будет посвящен отдельный раздел.

Итак, уравнение Ричардса – это центральное, самое важное уравнение передвижения влаги, веществ и энергии в почвах. Важно также отметить, что это уравнение было получено на осно ве балансового уравнения (уравнения неразрывности) и уравне ния переноса (модифицированное уравнение Дарси), т.е. на ос нове фундаментальных физических законов.

208

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

1.3. Численные методы решения уравнений тепло и влагопереноса. Сеточная схема расчета

Весьма важным в уравнении Ричардса является то, что в его левой части стоит член изменения влажности во времени, т.е. уравнение обладает явной предсказательной силой. Если его уда стся решить, то можно предсказать, какова влажность в следую щий момент времени и можно прогнозировать изменение влаж ности в конкретном слое почвы в определенный промежуток времени. Какими же способами решают это уравнение?

Для этого надо перейти к конечно разностной форме уравне ния Ричардса:

Предположим, что у нас есть три слоя почвы: слои i 1, i, i+1 (табл.II.1.1). В момент времени j давление влаги в этих слоях рав ноPi−j 1 , Pi j , Pi+j 1 соответственно. Нам надо рассчитать (предсказать)

давление влаги в i том слое в следующий момент времени (j+1): Рij+1. Это вполне можно сделать, используя выше приведенную конечно разностную форму уравнения Ричардса. В этом уравне нии мы имеем только одно неизвестное: в левой части уравнения

значения ненасыщенной гидравлической проводимости для со ответствующих слоев и давлений влаги и величину дифференци альной влагоемкости. Две эти составляющие входят в экспери ментальное почвенное обеспечение моделей влагопереноса, о котором будем говорить чуть ниже.

209

Математическое моделирование в почвоведении

Табл.II.1.1.

Сточная схема расчета влагопереноса

Процедура, которая позволяет рассчитать распределение давления влаги из j в j+1 момент времени, называется итера цией. Последовательные итерации могут идти друг за другом, но сеточная схема перейдет к следующему моменту только в том случае, если у нее сойдется баланс. Каждая итерация будет про веряться по схождению баланса. Поэтому у современных моде лей t не постоянная величина, она изменяется, шаг итерации за висит от сложности условий. К примеру, если у нас происходит очень медленное испарение с поверхности почвы, изменение влажности очень и очень маленькое, баланс сводится легко, ма шина разгоняется и может считать итерации с большим шагом по времени (например, сутки). Если ситуация сложная (к примеру, выпали ливневые осадки), то итерации могут быть очень дроб ными до долей секунды. Шаг по времени становится очень ма леньким. Таким образом, шаг по времени может меняться в зави симости от сложности схождения баланса. Обычно это задается в моделях в виде минимального или максимального шага по вре мени. Если зададим мин шаг по времени – сутки, то в сложной ситуации модель не справится, ей нужно часто считать, чтобы све сти баланс.

Точность расчета будет зависеть и от количества слоев. Чем больше слоев, тем больше точность расчета. Кроме того, точность будет определяется шагом по времени (min и max), ситуацией на верхнейгранице (длительныеосадки, мощноеиспарение).

210