мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

гумуса. При внесении удобрений зависимость продуктивности от содержания гумуса ослаблялась. Ф.Я. Гаврилюк и В.Ф. Вальков (1972) вычислили коэффициенты корреляции между гумусиро ванностью почв и урожаем для разных географических районов и установили, что почвам с низким содержанием гумуса соответст вуют более высокие значения коэффициентов корреляции. Н.Ф. Ганжара и др. (1987) проанализировали методологические подходы к оценке влияния степени гумусированности на урожай. Они пришли к выводу, что установленные на основании массовых данных коррелятивные связи между содержанием гумуса и уро жайностью еще не могут служить надежным доказательством за висимости урожайности от содержания гумуса, так как оба этих показателя зависят от одних и тех же физико химических свойств почв. Специально для решения этого вопроса ими был поставлен длительный вегетационно полевой опыт с соблюдением принци па единственного различия. Сравниваемые варианты опыта раз личались только по содержанию гумуса. Результаты показали, что в вариантах без применения удобрений урожай достоверно уве личивался с ростом содержания гумуса, а в вариантах с внесени ем удобрений эта зависимость не проявлялась.

Таким образом, на основании рассмотренных материалов можно заключить, что зависимость продуктивности от содержа ния гумуса носит нелинейный характер. Она четко проявляется при низком содержании гумуса в почве и ослабевает с ростом со держания гумуса по мере оптимизации среды обитания растений или тогда, когда человек берет на себя заботу об улучшении усло вий роста растений путем внесения удобрений или с помощью агротехнических приемов.

Необходимые данные для определения вида зависимости продуктивности фитоценозов от содержания гумуса в почве, были получены при изучении зарастания отвалов. В работе «Гумусооб разование в техногенных ландшафтах» (1986) на основании ана лиза большого эмпирического материала была установлена зави симость между биомассой высших растений и содержанием гуму са в молодых почвах. По мере развития биогеоценоза эта связь

91

Математическое моделирование в почвоведении

ослаблялась, что рассматривалось, как приобретение системой известной устойчивости. Биомасса зрелых зональных фитоцено зов от содержания гумуса в почве не зависела. Аналогичные ре зультаты получены М.В. Сергеевым (1985) при наблюдении за за растанием суглинистых отвалов (рис. I.3.12). Для того, чтобы ана литически представить установленный тип зависимости продук тивности фитоценоза от гумусированности почвы, можно исполь зовать, например, функцию вида:

где р – продуктивность растительного покрова; p0 – потенциаль ная продуктивность растительного покрова (параметр, отражаю щий потенциальные возможности местности для создания орга нического вещества высшими растениями в заданных климатиче ских условиях); x1 − запас углерода гумуса в почве; а – параметр числено равный запасу органического углерода в почве, при ко тором достигается половина потенциальной продуктивности. Он характеризует скорость приближения системы к состоянию с по тенциальной продуктивностью и зависит от свойств почвообра зующей породы.

Рис. I.3.12. Зависимость продуктивности растительного покрова от запа са гумуса в почве

92

Часть I. Построение математических моделей

Функция (3.30) отражает существенную зависимость продук тивности от гумусированности почвы на ранних стадиях почвооб разования и ее ослабление с ростом содержания гумуса по мере приближения системы к стационарному состоянию, когда дости гается потенциальная продуктивность.

Внекоторых обстоятельствах (например, при избыточном ув лажнении) в ходе развития биогеоценоза наблюдается переход положительной обратной связи в отрицательную, когда избыток органического вещества в почве начинает угнетать рост высших растений и продуктивность фитоценоза. Для описания такого типа взаимодействий могут быть использованы другие нелинейные функции, например, с максимумом.

Врассматриваемой серии моделей для описания зависимо сти продуктивности от содержания гумуса в почве использована функция (3.30). Серия начинается с модели 1, качественная струк тура которой в форме простейшей потоковой диаграммы пред ставлена на рис. I.3.13.

Аналитическая структура этой модели представляет собой следующую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

где x1 – запас углерода гумуса почвы; x2 – запас углерода мортмассы;

p0 – потенциальная продуктивность растительного покрова (параметр, отражающий потенциальные возможности местности для создания органического вещества высшими растениями в за данных климатических условиях);

а– параметр, числено равный запасу органического углерода

впочве, при котором достигается половина потенциальной про дуктивности, зависящий от свойств почвообразующей породы;

k0 − доля чистой первичной продукции, которая ежегодно включается в деструкционный цикл;

93

Математическое моделирование в почвоведении

k1 − константа скорости минерализации гумуса;

k2 – константа скорости минерализации растительных остат

ков;

k21 – константа скорости гумификации растительных остатков, r – сумма скоростей абиотических привноса (b) и выноса (f)

органического углерода.

b

f

Рис. I.3.13. Качественная структура модели 1.

Обозначим через k3 сумму коэффициентов скоростей гумифи кации и минерализации растительных остатков k2+k21. Очевидно, что в этом случае k3 является коэффициентом скорости разложе ния растительных остатков.

94

Часть I. Построение математических моделей

Стандартный путь качественного исследования модели (3.31) включает поиск стационарных значений из условия равенства ну лю правых частей уравнений (3.31) и анализ их устойчивости, как было показано выше. О поведении системы в окрестностях ста ционарных состояний судят по типу корней характеристического уравнения.

Возможность исследования устойчивости стационарного со стояния нелинейной системы путем анализа устойчивости систе мы, линеаризованной в окрестностях стационарного состояния, была показана А.М. Ляпуновым.

Продемонстрируем, как можно провести качественное ис следование системы (3.31) другим более наглядным способом.

Исключая переменную x2, сведем систему (3.31) к одному уравнению второго порядка относительно x1:

Для того чтобы проанализировать возникновение стационар ных асимптотически устойчивых решений уравнения (3.32), заме тим, что оно формально совпадает с хорошо известным в физике уравнением движения материальной частицы, движущейся с дис сипацией во внешнем поле с потенциалом u(x), которое имеет вид (Ландау, Лифшиц, 1988):

d2 x =−λ dx − du(x)

(3.33)

dt2 dt dx

Точки локальных минимумов потенциала u(x) соответствуют устойчивым стационарным состояниям системы. Сравнивая (3.32) и (3.33), найдем выражение для потенциала:

95

Математическое моделирование в почвоведении

Введение потенциала u(x1) – чисто формальный прием, де лающий более наглядным математическое исследование уравне ния (3.32).

Рассмотрим случай r = 0.

Он описывает ситуацию, когда абиотические потоки органи ческого углерода в системе очень малы по сравнению с биотиче скими, и их можно не учитывать. Например, в почву не вносятся органические удобрения, а потери органического вещества в ре зультате эрозии и миграции с внутрипочвенным стоком отсутст вуют или очень маленькие. В этом случае потенциал u(x1) примет вид:

Устойчивым стационарным состояниям системы соответству ют точки локальных минимумов потенциала u(x), поэтому их можно определить из условия:

В системе почва растительность возможны два устойчивых стационарных состояния: первое – тривиальное x1 = 0;

Заметим, что модель является идеализацией реальной сис темы, в действительности даже в осадочных почвообразующих породах содержится некоторое количество органического угле рода и в почвах содержание органического углерода никогда не бывает равно нулю потому, что в них всегда присутствует инерт ный гумус. Однако, это состояние можно отнести к тривиальным, так как углерод инертного гумуса практически исключен из био логического круговорота.

Поведение нелинейных систем, то есть переход из одного стационарного состояния в другое, определяют эффективные

96

Часть I. Построение математических моделей

параметры. Эффективными являются параметры, плавное изме нение которых приводит к качественным изменениям в системе.

В рассматриваемом случае состояние системы почва растительность определяет эффективный параметр q, который равен второй производной потенциала u(x1), взятой в точке х1 = 0 с обратным знаком. Он представляет собой функцию параметров круговорота углерода:

На рисунке I.3.14 схематически изображены положения ло кальных минимумов потенциала u(x1) в зависимости от величины эффективного параметра q.

Рис. I.3.14. Зависимость положения локальных минимумов потенциала u(x1) от величины эффективного параметра q.

При отрицательных значениях эффективного параметра ло кальным минимумам потенциала соответствует тривиальное ста ционарное состояние x1 = 0, следовательно, в этом случае в сис теме почва растительность не происходит гумусонакопления. В точке q = 0, которая является точкой бифуркации, в системе нет устойчивых стационарных состояний. При q > 0 локальные мини

97

Математическое моделирование в почвоведении

мумы потенциала находятся в области с x1 > 0, и устойчивым яв

чивается глубина локальных минимумов потенциала и устойчи вость этого стационарного состояния.

Перейдем к случаю r ≠ 0.

Он особенно интересен при изучении устойчивости пахотных почв, так как позволяет учесть поступление углерода с удобре ниями и потери органического вещества в результате эрозии. Здесь следует рассмотреть две возможности: r > 0 и r < 0.

Первая из них реализуется, когда поступление органического углерода в почву с удобрениями превышает его абиотические по тери. В этом случае потенциал u(x1) всегда имеет минимум в по ложительной области значений x1 при любых значениях эффектив ного параметра системы q. Положение и глубина минимума, кото рой определяется степень устойчивости системы, зависят от вели чиныабиотическогопритокауглеродаизначенияпараметра q.

Если эрозионные потери органического вещества выше его поступления с удобрениями (r < 0), то при q < 0 минимуму потен циала соответствует отрицательное значение x. В этом случае в системе отсутствуют устойчивые стационарные состояния в поло жительной области значений x1, следовательно, при r < 0 гумусо накопление в системе возможно только при положительных зна чениях эффективного параметра.

Наличие устойчивых стационарных состояний в отрицатель ной области значений x1 обусловлено тем, что первая модель об суждаемой серии не учитывает зависимость скорости абиотиче ских потерь гумуса от его содержания.

Этот недостаток можно легко устранить, если предположить, что скорость абиотических потерь гумуса является функцией его запаса и заменить в описании скорости абиотических потерь гу муса уравнение кинетики нулевого порядка на уравнение кинети ки первого порядка. Реализуем это во второй модели рассматри ваемой серии:

98

Часть I. Построение математических моделей

Здесь дополнительно введены два параметра с – коэффици ент скорости абиотических потерь углерода гумуса и b – скорость поступления органического углерода с удобрениями.

Для анализа устойчивости системы (3.38), применим тот же подход, что и при исследовании предыдущей модели.

Исключив переменную х2, сведем систему (3.38) к одному уравнению второго порядка относительно х1:

Как и в предыдущем случае, стационарные состояния систе мы почва растительность, описываемой системой уравнений (3.38), можно определить из условий (3.36).

В случае, когда в систему не вносятся органические удобре ния (b = 0), в ней возможны два устойчивых стационарных состоя ния. Выражения для них имеют следующий вид: x1 = 0;

Переход системы из одного стационарного состояния в дру гое определяет эффективный параметр, который в рассматривае мом случае равен:

99

Математическое моделирование в почвоведении

При q < 0 устойчиво тривиальное стационарное состояние x1 = 0. Точка q = 0 является точкой бифуркации системы. При q > 0 возникает устойчивое стационарное состояние в положительной области значений x1, устойчивость которого увеличивается с рос том q.

Проведенный выше анализ поведения системы почва растительность представляет собой пример использования аппа рата теории катастроф, позволяющей исследовать, как при не прерывном изменении эффективного параметра системы в ней возникают новые качественные состояния.

Будем считать, что система почва растительность устойчива, если существуют устойчивые положительные решения системы уравнений (3.38), которая является ее моделью. Потеря устойчи вости означает полное разрушение системы, когда устойчивым становится тривиальное решение системы x1 = 0. Устойчивые ста ционарные состояния системы в положительной области значе ний x1 всегда существуют при условии, что эффективный параметр

100