мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

Значения параметров круговорота углерода, при которых не равенства (3.42 3.48) обращаются в равенства, являются критиче скими, при их достижении система почва растительность теряет устойчивость.

Неравенства (3.42 3.48) позволяет проследить, как изменяет ся область устойчивости системы при изменении условий ее функционирования. Например, из неравенства (3.47) хорошо вид но, что устойчивость системы почва растительность к увеличению эрозионных потерь возрастает с увеличением количества посту пающих в почву растительных остатков и коэффициента их гуми фикации и уменьшается с ростом коэффициентов скорости раз ложения растительных остатков и минерализации гумуса.

Сравнение критических значений параметров с их реальными значениями позволяет судить о том, насколько далека система от границы устойчивости по каждому из параметров.

Рассмотрим случай, когда в систему ежегодно вносятся орга нические удобрения (b > 0). При этом условии устойчивые поло жительные решения существуют при любых значениях эффектив ного параметра q. Стационарный запас углерода гумуса в этом случае равен:

Для сельскохозяйственной практики большое значение имеет определение условий, при которых содержание гумуса в почве не

будет опускаться ниже некоторого заданного уровня x1′ . Их легко можно найти, решая неравенство:

101

Математическое моделирование в почвоведении

Как отмечалось выше, по современным представлениям в основе механизма, определяющего устойчивость наземных БГЦ, лежит сложный комплекс нелинейных обратных связей в системе почва биоценоз. В рассмотренных моделях была описана только положительная нелинейная обратная связь между гумусирован ностью почвы и продуктивностью растительного покрова. Наряду с этим важным взаимодействием в системе действуют и другие обратные связи, от которых зависят ее поведение и устойчивость. Например, хорошо известно, что органическое вещество почв оказывает существенное влияние на образование водоустойчи вых и механически прочных агрегатов (Воронин,1986). C возрас танием содержания гумуса улучшается почвенная структура и увеличивается продуктивность растительного покрова, что повы шает противоэрозионную устойчивость почв. Следовательно, уменьшение гумусированности будет сопровождаться увеличе нием эродируемости почв, что приведет к росту относительных эрозионных потерь органического вещества и еще большему воз растанию эродируемости.

Отрицательная обратная связь между гумусированностью и эродируемостью почвы носит нелинейный характер. Форма этой связи может быть установлена на основании данных о смываемо сти почв Европейской территории России (Ларионов, 1993) и оце нок содержания и запасов гумуса в этих почвах (Орлов и др., 1996) (рис. I.3.15).

Для того чтобы определить, какова роль отрицательной не линейной обратной связи между гумусированностью и эроди руемостью почвы в формировании механизма устойчивости, опи шем ее в следующей модели.

102

Часть I. Построение математических моделей

Рис. I.3.15. Зависимость эродируемости почв от их гумусированности.

Аналитически функция, описывающая зависимость коэффи циента скорости эрозионных потерь гумуса (с) от его запаса (x1), может быть представлена следующим образом:

где – s, n, m – параметры, причем s – определяет максимально возможное значение коэффициента скорости эрозионных потерь, соответствующее эродируемости почвообразующей породы.

Используя выражение (3.51), запишем систему уравнений, представляющую собой третью модель обсуждаемой серии:

Для того, чтобы определить, как изменится устойчивость сис темы почва растительность при дополнительном учете отрица тельной нелинейной обратной связи между гумусированностью и

103

Математическое моделирование в почвоведении

эродируемостью, проведем качественное исследование модели (3.52), применив тот же подход, что и при исследовании двух предыдущих моделей.

Выберем наиболее интересный случай (b = 0), когда в систему не вносятся органические удобрения, так как при (b > 0) устойчи вые положительные решения системы уравнений (3.52) сущест вуют при любых значениях эффективного параметра q.

В рассматриваемом случае эффективный параметр системы q равен:

Проведенный анализ показал, что при отрицательных значе ниях q единственным устойчивым состоянием системы (3.52) яв ляется тривиальное x1 = 0. Качественное изменение поведения системы происходит в точке q = 0, которая является точкой би фуркации системы. При q > 0 в системе возникает устойчивое ста ционарное состояние в положительной области значений x1. Та ким образом, область устойчивости системы можно определить из условия:

104

Часть I. Построение математических моделей

Сравним области устойчивости системы почва растительность, определенные на основе второй и третьей моде ли рассматриваемой серии для случая, когда органические удоб рения не вносятся (b = 0).

Область устойчивости системы при описании ее второй моде лью характеризуют неравенства(3.42 3.48), а третьей – (3.54 3.61). Легко видеть, что при переходе от второй к третьей модели об ласть устойчивости сужается. Это обусловлено тем, что при пере ходе от неравенств (3.42 3.48) к неравенствам (3.54 3.61) проис ходит замена параметра с на параметр s. В силу того, что эроди руемость почвообразующей породы превышает эродируемость сформированной из нее почвы, величина параметра s больше чем параметра с.

Сравнивая результаты анализа устойчивости, проведенного на основе второй и третьей моделей, можно сделать следующий вывод. Поведение системы почва растительность определяется положительной нелинейной обратной связью между продуктив ностью и гумусированностью почв. Отрицательная обратная связь между эродируемостью почв и содержанием гумуса не приводит к качественному изменению поведения системы, но накладывает более жесткие условия на область устойчивости стационарных состояний системы.

В формировании механизма устойчивости экосистем кроме рассмотренных нелинейных обратных связей участвует множест во других взаимодействий между почвой и биоценозом, роль ко торых невозможно исследовать, оставаясь в рамках только одной серии простейших моделей круговорота углерода. Более инте

105

Математическое моделирование в почвоведении

ресные результаты могут быть получены путем построения и ис следования моделей, учитывающих нелинейные взаимосвязи круговорота основных биофильных элементов, и, в первую оче редь, моделей взаимодействия биогеохимических циклов угле рода и азота.

В этой главе мы познакомились только с некоторыми основ ными элементами качественной теории дифференциальных уравнений и рассмотрели несколько примеров простейших ди намических моделей.

Несмотря на простоту этих моделей, они ярко демонстрируют эффективность использования базовых моделей при изучении динамики систем. Базовые модели позволяют не только предста вить качественные особенности их поведения, но и получить ряд важных количественных характеристик.

Качественному исследованию базовых динамических моде лей много внимания уделяется в современной математической биологии. Этим вопросам посвящено множество публикаций. Мы рекомендуем заинтересованным студентам замечательные книги Ю.М. Свирежева (1987) и Г.Ю. Ризниченко (2003). В настоящее время в почвоведении это направление исследований только на чинает развиваться (Смагин и др., 2001; Рыжова, 2003; Морозов, 2007; Phillips, 1998; 2010). Хотя именно нелинейная динамика может оказаться наиболее эффективным инструментом изучения пространственно временной организации почв и поиска ответов на вопросы, как в условно однородной породе образуются поч венные горизонты, и формируется почвенный профиль? Почему и как возникают резкие ландшафтные границы, тогда как абиотиче ские параметры, (температура, влажность, глубина залегания вечной мерзлоты, уровень почвенно грунтовых вод и др.) с кото рыми их связывают, изменяются непрерывно. Наиболее наглядно это проявляется в горах, где непрерывному изменению высоты и связанных с ней климатических параметров соответствует четкая структура высотной поясности. Ответы на эти и многие другие фундаментальные вопросы почвоведения и экологии можно по лучить, исследуя базовые модели, описывающие нелинейные взаимодействия в почвах и экосистемах.

106

Часть I. Построение математических моделей

Глава 4. Биогеохимические модели

Одной из наиболее актуальных экологических проблем явля ется прогнозирование отклика экосистем и биосферы в целом на изменения биогеохимических циклов в условиях возрастающего антропогенного воздействия и глобального изменения климата. Качество прогнозов во многом зависит от уровня развития мате матических моделей круговорота углерода, азота и других био фильных элементов и их информационного обеспечения.

Моделированию биогеохимических циклов в математической экологии уделяется очень большое внимание. Об этом свидетель ствуют диаграммы (рис. I.4.1, I.4.2) на которых Sven Erik Jorgensen (2008) продемонстрировал, как были представлены экологические модели разных типов в статьях, опубликованных в журнале Ecologi cal Modelling в первый период существования журнала (1975 1982 годы) и в период с 2000 по 2006 год. Этот широко известный жур нал является ведущим в области математической экологии и от ражает состояние дел в этой области.

Количество

Тип модели

Рис. I.4.1. Количество статей, опубликованных в 1975 1982 годах в жур нале Ecological Modelling, представляющих модели разных типов (по

Jorgensen, 2008).

107

Математическое моделирование в почвоведении

Примечание: Stochastic –стохастические модели; Spatial distribution models and structurally dynamic models (SDB, BD) – пространственно распределенные и структурно динамические модели; Statist – модели, основанные на использова нии статистики; fuzzy – модели, основанные на нечеткой логике; Catastr. – моде ли теории катастроф; Pop. dyn. – модели динамики попудяций; Biogeochem –

биогеохимические модели.

На представленных диаграммах четко видно, что наибольшее число публикаций посвящено биогеохимическим моделям. В се мидесятые годы прошлого века на их долю приходилось 62.5% от общего количества публикаций. Несмотря на то, что в двухтысяч ные годы в результате увеличения разнообразия моделей она со кратилась до 32%, общее количество статей, рассматривающих биогеохимические модели, выросло больше чем в три раза и за ними остается ведущее положение.

Количе

Тип моде

Рис. I.4.2. Количество статей, опубликованных в 2000 2006 годы в жур нале Ecological Modelling, представляющих модели разных типов (по

Jorgensen, 2008).

Примечание: Stoc – стохастические модели; SDM – структурно динамические модели; Stat. – статистические модели; Fuzzy – модели, основанные на нечеткой логике; Cat. – модели теории катастроф; P.D. – модели динамики попудяций; BGC – биогеохимические модели; Spat – пространственно распределенные мо дели; IBM – индивидуально ориентированные модели; ANN – искусственные нейронные сети; AI – модели искусственного интеллекта; C+F – модели, исполь зующиетеориюхаоса; St.St – статическиемодели.

108

Часть I. Построение математических моделей

Среди процессов, составляющих биогеохимические циклы, особо важная роль принадлежит трансформации и минерализа ции органического вещества почв, в результате которых осущест вляется переход элементов биофилов в доступные организмам формы. Поэтому для развития биогеохимических моделей в на земных экосистемах первостепенное значение имеет моделиро вание динамики органического вещества почв. Кроме того оно имеет самостоятельное значение, являясь частью очень сложной проблемы моделирования почвообразования.

4.1. Краткое историческое введение

Уже в конце девятнадцатого века на самом раннем этапе раз вития почвоведения П.А. Костычевым (1889) были начаты иссле дования динамики органического вещества и предложено урав нение, описывающие минерализацию растительных остатков. Позднее в 1937 году И.В. Тюриным было опубликовано уравнение для расчета предельного уровня накопления органического веще ства в почве:

S – предельный уровень накопления гумуса в почве, а – коэффи циент разложения поступающих в почву растительных остатков. А

– количество поступающего в почву опада, х – коэффициент раз ложения гумуса.

За рубежом первые математические модели динамики орга нического вещества почв появились в конце тридцатых – начале сороковых годов двадцатого столетия (Nikiforov, 1936; Jenny, 1941; Henin, Dupuis, 1945).

Среди ранних моделей наибольшую известность получила экспоненциальная модель Иенни (Jenny, 1941; 1949), в которой

109

Математическое моделирование в почвоведении

для описания динамики органического углерода или азота в поч ве использовано уравнение вида:

где X – содержание органического С или N в почве; А – ежегодное поступление органического C или N; k – коэффициент минерали зации (доля органического C или N, минерализующаяся за год). Решение этого дифференциального уравнения характеризует из менения содержания органического углерода или азота в почве со временем:

(4.3)

где X0 – содержание органического С или N в почве в начальный момент времени;

Xe – содержание органического углерода или азота в почве в ста ционарном состоянии.

В модели Хенина и Дюпуи (цит. по Molina and Smith, 1998), предполагается, что определенная доля поступивших в почву рас тительных остатков гумифицируется:

где y – содержание органического вещества в почве; w – количе ство поступающих в почву растительных остатков; k1 – константа скорости гумификации (доля растительных остатков, трансфор мирующаяся в гумус), названная в этой работе изогумусовым ко эффициентом); k2 – константа скорости минерализации органиче ского вещества почвы.

Первая глобальная модель биогеохимических циклов тоже была построена в первой половине прошлого века. Автором этой биосферной модели был В.А. Костицын, который в 20 х годах тес

110