мат. модел в почв

Часть I. Построение математических моделей

Таблица 5.1

Факторы почвообразования и их связь с почвообразующими процес сами, описываемыми моделью SoilGen (по Opolot et al., 2015)

191

Математическое моделирование в почвоведении

Факторы почвообразования («CLORPT») представлены в SoilGen в качестве входных параметров, характеризующих на чальные или граничные условия.

Подробное описание модели SoilGen приведено в работах

Finke and Hutson (2008) и Finke (2012).

Проверка модели показала, что она дает разумные результа ты, как в масштабе почвенного профиля, так и в масштабе ланд шафта. Она успешно использовалась для моделирования мигра ции глины в почвах, используемых в лесном и сельском хозяйстве

всеверной Франции, для оценки влияния биотурбаций в резуль тате вывала деревьев на мощность профиля, для объяснения эф фекта крутизны склона и экспозиции на почвенные свойства и глубину декальцификации, для оценки влияния климата на кар бонатные лессовые почвы. Чтобы оценить способность SoilGen описывать развитие почвы, она применялась для описания поч венных хронорядов Норвегии. Оценивалось изменение рН, сте пени насыщенности основаниями, емкости катионного обмена, содержания глины и органического углерода. Сделанные выводы свидетельствует о довольно хорошем качестве модели (Opolot et al., 2015).

Д.Г. Бокхейм и А.Н Геннадиев (Bockheim, Gennadiyev, 2000)

рассмотрели проблему соотношения классификации почв с кон цепцией о почвообразовательных процессах. Они показали, что мировая реферативная база почв (WRB) использует систему диаг ностических свойств и горизонтов, выбор которых основан на глу боких генетических принципах, что позволяет объяснить их фор мированием определенным набором из 17 основных почвообра зовательных процессов. Разработчики SoilGen предложили внести

вэтот список еще пять процессов (эрозию, осаждение вещества на поверхности почвы, физическое выветривание, химическое выветривание и биотурбации), которые важны не для диагности ки и классификации почв, а для оценки изменения их состояния в ландшафте. Полученный таким образом список из 22 процессов может служить основой для моделирования характерных особен ностей (за исключением морфологических свойств) почв рефера

192

Часть I. Построение математических моделей

тивных почвенных групп, входящих в мировую реферативную ба зу. Современная версия SoilGen способна моделировать основ ные характеристики 15 реферативных почвенных групп, а потен циально за счет включения дополнительных почвообразователь ных процессов их количество может увеличиться до 24. С моде лированием оставшихся 8 почвенных групп, входящих в WRB (WRB; IUSS Working Group WRB, 2006) пока много проблем, обу словленных сложностью почвообразовательных процессов

(Opolot et al., 2015).

Для дальнейшего развития этой модели, ее калибровки и проверки нужны надежные данные, характеризующие климо , топо и хроноряды почв.

Рассмотренные выше ландшафтные и профильные модели дополняют друг друга. Для дальнейшего развития математиче ской теории педогенеза важна интеграция ландшафтных и про фильных моделей, чтобы получить 3D модели отражающие раз витие и эволюцию почв в ландшафте с учетом образования и раз вития почвенных горизонтов. На наш взгляд, для совершенство вания моделей педогенеза очень важно учесть достижения в раз витии моделей биогеохимических циклов основных биофильных элементов, так как трудно переоценить роль биологического кру говорота в почвообразовании.

В настоящее время математическая педодинамика находится только на первом этапе своего развития. Однако возрастание сложности экологических и социальных проблем потребует ее быстрого развития в XXI веке.

193

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

но расширяет их возможности. В отличие от стохастических моде лей, которые с определенной надежностью работают только в диапазоне их построения, физически обоснованные модели могут применяться в более широком диапазоне условий, воспроизве дение которых весьма затруднительно или просто невозможно в природе. Например, модели каких либо природных или антропо генных катастроф. Безусловно, это значительно расширяет воз можности использования моделей.

К вопросу о…

В книге «Сумма технологий» великий фантаст и философ Станислав Лем писал о двух путях развития человечества: об эволюции биологической и технологической. Отличают эти две эволюции, следующие характерные моменты: биологическая эволюция непрерывна, это явление исключительно редкое, требующее стечения многих обстоятельств, результатом которых могут быть несколько путей развития событий. Как пишет С. Лем, технологическая эволюция строго запрограмми рована: «… все фазы и этапы прогресса математических иссле дований были запрограммированы, в результате чего напоми нали, образно говоря, восхождение на верхние этажи некоей ва вилонской башни». Более того, получается, что мы можем кон струировать только то, что можно сконструировать мате матически. Это очень глубокая мысль: все, что мы пытаемся создать или изменить в Природе, переделать, перекроить и преобразовать, сначала надо понять и описать математиче ски. Так, если мы хотим создавать почвенные конструкции, то мы должны научиться описывать их математически. Пока мы этого не умеем. Поэтому, если мы ставим задачу создать искусственную почву с заданными свойствами, обязательным этапом работы является математическое описание почвенных процессов. Именно поэтому так необходимо знать законы функционирования почв и уметь использовать их в математи ческих моделях. Поэтому мы с Вами и изучаем математическое моделирование в почвоведении.

195

Математическое моделирование в почвоведении

Что же означают динамические, пространственно распреде ленные, численные (имитационные) модели?

Динамические – в этих моделях все явления рассматриваются

вдинамике. Обязательной переменной в уравнениях динамиче ской модели является время (t). Действительно, невозможно рас сматривать движение веществ, например, воды в почве, вне вре мени, ведь понятие водный режим почв подразумевает, что из менение влажности и состояния влаги в почве происходят в ди намике, в течение некоторого времени.

Пространственно распределенные модели – это означает, что явление должно быть рассмотрено в некотором 1–3 х мерном пространстве, причем в конкретном направлении. Это может глу бина почвы, как правило, обозначаемая в виде оси Z (по апплика те). Если рассмотрение явления происходит в 2 х мерном про странстве (2D модели), например, в почвенной катене или тран шее, то добавляется еще и горизонтальная составляющая, по оси Х (по абсциссе). Наконец, если модели 3 х мерные (3D модели), то явление рассматривается и по оси Y, т.е. по ординате. Добав ление осей Х или Y не меняет сущности модели, её физическое обоснование остается прежним, меняется лишь расчетная схема (об этом – в отдельной главе…). Таким образом, как правило, в физически обоснованных динамических и пространственно рас пределенных моделях рассматриваются две переменные – рас стояние (z) и время (t), соответственно, все уравнения в частных производных.

И, наконец, модели аналитические и численные (имитацион ные). В аналитических моделях используют основные теоретиче ские уравнения и некоторые экспериментальные зависимости.

Численные (имитационные) модели тоже имеют теоретиче ские физические обоснования, в них используют специальные расчетные процедуры, в основе осуществления которых лежит опять таки закон баланса. Они позволяют рассчитывать перемен ную состояния (влажность, содержание ионов, температуру и пр.)

вопределенный момент времени. Так, постепенно, через опре

196

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

деленные промежутки времени (шаг по времени) рассчитывается динамика интересующей нас переменной состояния. Эти проце дуры мы будем рассматривать в разделе 1.3 «Численные методы решения…». Начнем же с основного качества такого рода моде лей – с их физического обоснования.

1.1. Законы неразрывности и переноса

Закон баланса в математических моделях представлен в виде так называемого уравнения неразрывности. Рассмотри его вывод на примере движения воды в почве.

Пусть у нас имеется некий цилиндр почвы единичной площа ди и высотой ∆z, в который втекает поток влаги qwвх , а вытекает qwвых . За счет разницы этих потоков ∆q за некоторое время ∆t про исходит изменение запасов влаги ∆ЗВ (рис. II.1.1).

".

qw

z

gb

qw"/.

Рис. II.1.1. Пояснение к выводу уравнения неразрывности: цилиндр поч вы высотой ∆z с втекающим ( qwвх ) и вытекающим ( qwвых ) потоками влаги,

за счет разницы которых происходит изменение запасов влаги в рас сматриваемом цилиндре (∆ЗВ)

197

Математическое моделирование в почвоведении

Это соотношение потоков и изменения запасов влаги за неко торый период времени можно зависать в виде уравнения:

ЗВ =qwвх −qwвых .

t

Учитывая, что изменение запасов влаги – это изменение объ емной (Δθ) влажности в толще ∆z, запишем

ЗВ = Δθ z =qwвх −qwвых

t t

Если принять, что баланс воды происходил в i ом слое почвы толщиной ∆z, и в него могло втекать или вытекать некоторое ко личество воды (qwвх −qwвых ) за время ∆t, то уравнение баланса мож но записать в более общем виде:

Δθ z = t(qwвх −qwвых) .

Обозначая разницу потоков через ∆q и при отсутствии прито ков и оттоков влаги с боковой поверхности, а также появление влаги в рассматриваемой толще за счет других источников (на

пример, конденсации), получаем Δθ = q . t z

Это и есть выражение уравнения неразрывности, полученное на ми, на основе только балансовых соотношений. Из уравнения не разрывности для почвенной влаги следует, что «Изменение влажности определенной толщи почвы во времени пропорцио нально изменению потока влаги в ней» и записывается, если пе рейти от конечных разностей к частным дифференциалам как

dθ = dq . dt dz

Полученное уравнение является основным при математиче ском моделировании. Оно применимо не только для воды, но и для потока ионов, нерастворимых веществ, тепла и пр. Более то го, используя балансовые соотношения можно строить математи

198

Часть II. Применение математических моделей в почвоведении

ческие прогнозные модели. Эти модели так и называются «балан совыми», они весьма простые по внутреннему устройству, не тре буют большого количества почвенной информации. С ними мож но познакомиться в книгах по физике почв.

Итак, первое уравнение в физически обоснованных моделях – это балансовое уравнение, используемое в виде уравнения не разрывности. Второе – это уравнение переноса веществ и энер гии, которое в самом общем виде выглядит так:

q =K ∂Ψ ,

∂z

где q – удельный поток (или поверхностная плотность потока) ве щества или энергии (размерность [г/(см2 сут)] или [кал/(см2 сут)]). К – коэффициент пропорциональности, точнее – проводимости, характеризующий переток вещества или энергии при единичном

градиенте ∂Ψ движущей силы Ψ. В справедливости этого уравне

∂z

ния тоже не приходится сомневаться, так как все явления перено са описываются подобными уравнениями. Вспомним закон Ома – закон переноса заряженных частиц в электрическом поле, обычно

записываемый как I = U (I – поток заряженных частиц или ток, U

R

– перепад напряжения, R – сопротивление, или 1 = κ – электро

R

проводность). Вспомним и уравнение Дарси, описывающее поток

коэффициент фильтрации, а h – градиент движущей силы, в z

данном случае, градиент гидравлического давления. Все это ука зывает, что приведенное феноменологическое уравнение пере носа является всеобщим и может быть применимо для описания движения вещества и энергии в почве.

199

Математическое моделирование в почвоведении

К вопросу о… О математизации физических явлений

Почему именно физически обоснованные модели? Именно такого рода модели позволяют просчитать разные сценарии развития явлений и применяются для широкого спектра при родных условий. Однако, какова история их появления?

На мой взгляд, развитие математических моделей – это характерный путь научного развития. Показателен в этом отношении известный пример с развитием теории электро магнитной индукции, теории Максвелла. Эта теория появилась в середине XIX века, как математическое описание электромаг нитных явлений. Во всех учебниках она выражается в несколь ких классических уравнениях. Однако до этих уравнений были великие опыты Фарадея. Фарадей, сын кузнеца, не в полной мере владеющий математической теорией, прошел блестящий путь физика экспериментатора. Он заметил, что движущийся маг нит вызывает в проводнике электрический ток, положив тем самым физическое обоснование электромагнитным явлениям. Но главное, он создал образ, образ электромагнитного поля. Теперь его воспроизводят в школьных опытах, когда подносят к рассыпанным на бумажке металлическим опилкам магнит, и опилки выстраиваются по определенным линиям. Эти линии Фарадей и назвал силовыми. Вот он физический образ – «сило вые линии». Гениальный Максвелл, описывая электромагнит ные поля, опять таки представлял различные физические обра зы: в его статьях были и некие «молекулярные вихри», и неве сомая несжимаемая жидкость, в которых распространяются электромагнитные волны, но именно фарадеевский образ с си ловыми полями помог Максвеллу облечь физические законы электромагнетизма в математические уравнения.

Итак, любой математической модели предшествует некий физический образ. Поэтому в моделях функционирования почв

200