3.3. Логические отношения между простыми суждениями
Рассмотрим вопрос о логических отношениях между категорическими суждениями. Логические отношения – это отношения между суждениями по их логической форме, то есть в отвлечении от их конкретного содержания (от того, о чем конкретно идет в них речь – о космонавтах или юристах, об атомах или числах и т.п.). Это отвлечение (абстрагирование) производится заменой входящих в суждения понятий логическими параметрами P, Q, R, S и т.п., так что после этого остается лишь схема («скелет») этого суждения. К примеру, заменяя в суждении Все киты – млекопитающие животные понятия «кит» и «млекопитающее животное» на параметры Q и R , получаем запись логической формы этого суждения: Все Q есть R. Сходную логическую структуру имеют и многие другие суждения, чье конкретное содержание отличается от вышеприведенного, например, Все судьи – юристы, Все металлы – электропроводные вещества и т.д.
Для чего необходимо в логике отвлечение от конкретного содержания суждений? Дело в том, что одна из главнейших задач этой науки – описание общих условий правильности умозаключений (выводов). Уже Аристотель доказал, что правильность дедуктивных умозаключений не зависит от конкретного содержания входящих в их состав посылок и заключения: она определяется исключительно логической формой этих суждений. Так, умозаключение «Киты – млекопитающие животные (Все Q есть R), а у млекопитающих нет жабров (Все R не есть P). Следовательно, У китов нет жабров (Все Q не есть P) является правильным. Но правильным является и умозаключение Ель – растение, а растения не имеют рефлексы. Значит, у ели нет рефлексов: схема этого умозаключения в точности такая, как и первого: Все Q есть R; Все R не есть P. Cледовательно, Все Q не есть P».
Логические отношения между категорическими суждениями удобно иллюстрировать на схеме, именуемой логическим квадратом:
Отметим, что этой схемой иллюстрируются только отношения между сравнимыми суждениями, т.е. простыми суждениями, у которых одинаковые субъекты и предикаты. Символы a, e, i, o обозначают выделенные нами ранее логические типы суждений (соответственно: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные). Верхняя горизонталь (а ↔ е) символизирует отношение контрарности (противоположности), нижняя (i ↔ o) – отношение субконтрарности (подпротивоположности), левая вертикаль (a → i) и правая вертикаль (е → о) – отношение логического подчинения, а диагонали (а ↔ о) и (е ↔ i) – отношения контрадикторности (логического противоречия). Двойные стрелки указывают, что отношение обратимое (например, а контрарно е, и е контрарно а), а стрелки → указывают однонаправленность отношения (а, е подчиняют, соответственно, i, о, обратное неверно.
Теперь охарактеризуем выделенные четыре типа логических отношений.
Суждения X и Y находятся в отношении контрарности, когда они несовместимы по истине (т.е. не могут быть одновременно истинными), но совместимы по ложности (могут быть оба ложными). Возможен также вариант, когда одно из них – истинное суждение, а другое – ложное (или наоборот).
Рассмотрим примеры контрарных суждений. Среди категорических суждений в этом отношении находятся суждения типа а и е. Так, контрарными являются суждения:
Все лебеди белые птицы (а)
Все лебеди не являются белыми птицами (т.е. Ни один лебедь не является белым) (е)
Как известно, оба эти суждения – ложные. Но контрарными являются и суждения:
Все металлы – электропроводны.
Все металлы не являются электропроводными.
Здесь первое суждение (а) – истинно, а второе (е) – ложно.
Таким образом, для контрарных суждений из четырех возможных вариантов распределения их значений (истины либо ложи) исключен только первый: они не могут быть оба истинными, т.е. они несовместимы по истине:
1
)
и и
2 ) и л
3 ) л и
4 ) л л
Суждения X и Y находятся в отношении контрадикторности, когда они несовместимы как по истине, так и по лжи:
1 ) и и
2 ) и л
3 ) л и
4 ) л л
В
– Все преступники опасны для общества (а)
– Некоторые преступники не опасны для общества (о)
Как известно, истинным является первое суждение, а второе – ложно. Второй пример:
– Некоторые металлы – жидкости (i)
– Все металлы не являются жидкостями (е)
В этом случае истинно частное суждение, а ложно общее.
Суждения X и Y находятся в отношении субконтрарности, когда они не могут быть оба ложными (т.е. они несовместимы по ложности, но совместимы по истине). Это означает, что из четырех возможных вариантов распределения значений истинности исключен только один: Х – ложь и Y – ложь (они несовместимы по ложности):
1 ) и и
2
)
и л
3 ) л и
4 ) л л
В сфере категорических суждений в этом отношении находятся суждения i и о.
Суждение Х логически подчиняет суждение Y, когда при истинности Х истинно и Y, а при ложности Y ложно Х.
Это отношение в современной логике именуют отношением логического следования. Применительно к категорическим суждениям в отношении логического подчинения находятся попарно взятые суждения a, i и e, o. Это означает, что истинность общего суждения гарантирует истинность частного, а ложность частного исключает истинность общего. Примеры: при истинности суждения Все рыбы дышат жабрами нет оснований сомневаться в истинности суждения Некоторые рыбы дышат жабрами, поскольку информация, содержащаяся во втором из этих суждений, составляет часть информации первого: раз все рыбы такие, то и некоторые таковы, то есть существует, по меньшей мере, одна рыба, которая дышит жабрами. Отношение логического подчинения необратимо: истинность частного суждения не гарантирует истинность общего. Так, истинность суждения Некоторые юристы – следователи никак не влияет на значение истинности общего суждения Все юристы – следователи (последнее – ложно). Между тем, ложность частного суждения «Некоторые четные числа не делятся на 2» однозначно свидетельствует о ложности общего суждения Все четные числа не делятся на 2.
В теме 1. речь шла о законе противоречия и законе исключенного третьего. Первый закон был сформулирован так:
Неверно, что Х и не-Х
Применительно к категорическим суждениям мы имеем следующие формулировки этого закона:
Неверно, что Все S естьP и Некоторые S не естьP
Неверно, что Все S не есть P и Некоторые S естьP
Закон исключенного третьего формулировался нами так:
Х или не-Х
В области категорических суждений мы имеем такие его формулировки:
Все S есть P или Некоторые S не есть P
Все S не есть P или Некоторые S есть P
Обратите внимание! Не каждая пара сравнимых суждений (т.е. с одинаковыми субъектами и предикатами), одно из которых является отрицательным, а другое – положительное, находится в отношении логического противоречия. Например, не противоречат суждения «Некоторые сделки, несоответствующие требованиям законодательства, не признаются действительными» и «Некоторые сделки, несоответствующие требованиям законодательства, признаются действительными» (они находятся в отношении субконтрарности). Первому из этих суждений противоречит суждение «Все сделки, несоответствующие требованиям законодательства, признаются действительными», а второму – суждение «Ни одна сделка, несоответствующая требованиям законодательства, не признается действительной».