Типовой расчет №1

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

361

, ~

119.15. Доказать, что векторы ~a = f¡3; 5; 3g b = f¡2; ¡1; ¡5g, ~c = f¡4; ¡4; ¡2g îáðà-

зуют базис и найти координаты вектора ~

d = f¡2; 29; 21g относительно этого базиса.

119.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f¡2; 0; ¡1g

, ~

=

b

~

f1; 2; ¡2g è ~c = f¡2; 3; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 3, (~x; b) = ¡14

è (~x;~c) = ¡8. ~a

= f¡2; 0; ¡1g

, ~

= f1; 2; ¡2g, ~c

~

b

= f¡2; 3; 3g, (x;~a) = 3, (~x; b) = ¡14,

(~x;~c) = ¡8.

~

119.17. Найти значение скалярного произведения (2~u + 1~v)(¡1~u + 2~v), åñëè ~u = 4~a ¡4b,

= 2

¡ 1

j

j= 4 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 4

~v ~a

~

,

~

,

~

'

:

b и известны ~a

~a; b ,

119.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0 = ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

0

2

3

¡21

A = B

3

1

3 C

B

2

2

¡

1C

B¡

C

@

A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

119.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡3; ¯ =

¡3; ~a = f2; 3; ¡2g;

~

b = f1; 1; 0g.

362

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант 1 - 120

¯

¯

1

6

¡1

3

120.1.

Вычислить определитель

¯

1

¡

4

1

¡

3¯

¯¡

¯

¯

2

12

3

6

¯

¯

¯

¯

2

12

¡

¯

¯

2

7¯

¯

¡

¡

¯

¯¡

¯

¯

¯

¯

¯¡

12

¡

6

¯

3

27

27¯

¯

1

3

9

2¯

9

¯

¯

¡

¡

¡

120.2.

Вычислить определитель

¯

2

6

21

4

18

¯

¯

¯

¯¡

3

¡

9

1

9

¯

¯

1

¯

¯

¯

¯¡

9

¡

6

24

¯

¯

3

27

¯

¯

¡

¯

¯¡

¯

¯

¯

¯

¯

0¡

2

3

1

120.3. Вычислить определитель произведения

матриц

A = 0¡

1

0

0

1

,

AB

B =

3

¡

2 .

@

2

2

0

A

B

1

C

B

0

C

B¡

C

@

A

4

4

1

A = B0

0

1C

B2

1

2C

B

C

@

A

цы и методом Гаусса.

0

1

0¡2

¡2

¡21 0x11

¡6

B

0

¡1

2

C ¢ Bx2C

=

B¡10C

B

3

3

1

C Bx3C

B

21C

B¡

¡

C B C

B¡

C

@

A @ A

@

A

120.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡1 0

1 0x11 x121 0¡4 0

1

= 0

¡8 ¡41

@¡2 ¡2A ¢ @x21 x22A ¢ @¡2 ¡2A @¡16 0

A

1

0¡12

0

¡2

0

2

¡6

120.7.

Вычислить ранг матрицы

B

¡6

0

1

0

3

¡1

C

B

6

0

3

0

1

5

C

B

9

0

1

0

2

4

C

B

C

B

C

B

¡

0

¡

0

2

¡

C

B

39

11

24C

B

C

@¡

¡

¡

A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

363

120.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

0

0 2 3 1

2

B

¡5 2 1 ¡1 1

C Bx2C B0C

B

¡

7 2 1

¡

1

1C Bx3C

=B0C

B

¡

C B C

B C

B

3 3 1 2

1

C Bx

C B0C

B

C B

4C

B C

B

C B C

B C

B

27 7 6

5 1

C Bx

C B0C

B

¡

C B

5C

B C

@¡

A @ A

@ A

120.9. Найти общее

0x1

1

решение системы уравнений

0¡12 ¡2 2 ¡4 561Bx2C

=

0¡41

B

¡

3

¡

1

1

1

1

Bx3C

B¡

4

CB

C

C

B

5

1

1

1

19

C

Bx

4

C

B

8

¡

¡

¡

C

B

CB C

B¡

C

@

AB

C

@

A

Bx

C

120.10. Вычислить

B

5C

A

@ A

01

собственные числа и собственные векторы матрицы

.

A =

2

@0

7A

0¡2

4

4

1

120.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B

2

3

¡1C

B

0

0

1C

B

¡

C

@

A

120.12. Найти значения параметра

¯

, при которых векторы

a

è b

ортогональны, а

¡!

векторы

¡!

a

, b , c компланарны. a

=

1;

5; 5

,

b

2;

¯

;

4

c

=

1;

5;

4

.

¡!

¡!

¡!

g

¡! =

f¡

g ¡!

g

¡!

f

¡

¡

f¡ ¡

¡

120.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; 1; 0), B(2; 1; ¡2), C(¡2; ¡2; 2).

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

Вычислить: а) квадрат длины вектора ¡¡¡1 !2

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

C

¡!

¡¡!

120.14. Даны 4 точки A(¡1; ¡1; 1), B(2; 1; 2), C(¡2; 2; ¡3), D(2; 1; ¡1).

, ä)

Вычислить: а)

AB

CD

, á)

AB;

CD

, â)

AB;

CD

, ã)

AD; AB; AC

j 4¡!

¡ 3¡¡! j

(4¡!

¡3¡¡!)

[4¡!

¡3¡¡!]

[¡¡! [¡! ¡!]]

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

364

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

, ~

120.15. Доказать, что векторы ~a = f2; 2; 2g b = f¡5; ¡5; ¡2g, ~c = f¡4; ¡2; ¡2g образу-

ют базис и найти координаты вектора ~

d = f¡9; ¡13; ¡4g относительно этого базиса.

120.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡1; 0; 2g

,~

b = f3; ¡2; ¡4g

~

è ~c = f3; ¡3; 0g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 1, (~x; b) = 7 è (~x;~c) = 18.

, ~

(x;~a) = 1,

~

~a = f¡1; 0; 2g b = f3; ¡2; ¡4g, ~c = f3; ¡3; 0g,

(~x; b) = 7, (~x;~c) = 18.

~

120.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u ¡2~v)(2~u + 3~v), åñëè ~u = 1~a ¡1b,

~v = 4~a ¡ 2b

j

j= 2 j b j= 5 ' = ( c ) cos

= 0 7

~

и известны

~a

,

~

,

~

:

~a; b , '

120.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

02

¡1

2

1

A = B0

2

2

C

B0

1

¡

2C

B

¡

C

@

A

120.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

Подписано в печать

Формат 60 £ 94 1=16.