Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Типовой расчет №1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3733 34 35 36 37 > Следующая >>>

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

321

106.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

13 2 3 1 ¡11 0x11 001

20 2 3 3 2

C Bx2C B0C

12 1 1 3 1

C Bx3C

=B0C

C B

B C

1 1 2

1C Bx

C B0C

C B

B C

C B

B C

B159

C Bx

B0C

C B

B C

A @ A

@ A

106.9. Найти общее решение0x11

системы уравнений

0¡46

¡12

¡5

¡3731Bx2C

Bx3C

1 2

CB C

CBx4C

88C

CB C

B¡

AB C

Вычислить

@ A

106.10.

¡61

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

@¡6

106.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B4

¡3

¡3C

106.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

1; 4; 2

¡! =

2; ;

векторы

1; 0;

¡!

!¡

¡!

f¡

¡ g

¡!

¡ g

, b , c компланарны. a

106.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 1; 3), B(0; ¡2; ¡2), C(1; 3; ¡3).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

106.14. Даны 4 точки A(¡3; 3; 3), B(¡3; 1; 1), C(2; 2; 1), D(¡2; ¡1; 2).

Вычислить: а)

j 3¡!

¡ 2¡¡! j

, á)

(3¡!

¡2¡¡!)

, â)

[3¡!

¡2¡¡!]

, ã)

[¡¡! [¡! ¡!]]

, ä)

AB;

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

322

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

106.15. Доказать, что векторы ~a = f¡3; ¡2; ¡4g

, ~

b = f¡5; 1; ¡1g, ~c = f1; ¡2; ¡3g îáðà-

зуют базис и найти координаты вектора ~

d = f8; 2; 8g относительно этого базиса.

106.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f5; ¡5; ¡2g

, ~

f4; ¡5; 0g è ~c = f¡5; ¡1; 2g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 45, (~x; b) = 30

è (~x;~c) = ¡33. ~a

= f5; ¡5; ¡2g

~c = f¡5; ¡1; 2g,

b = f4; ¡5; 0g,

(x;~a) = 45, (~x; b) = 30,

(~x;~c) = ¡33.

106.17. Найти значение скалярного произведения (¡1~u

¡ 3~v)(¡2~u + 1~v), åñëè ~u

¡1~a + 2b ~v = 4~a + 3b

j= 2 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 2

и известны

~a; b ,

106.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡3x2 + 0y2 + 1z2 ¡ 10xy + 4xz ¡ 4yz

106.19.Привести квадратичную форму 1x2 ¡ 1y2 ¡ 2z2 + 8xy ¡ 12xz ¡ 16yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

	106.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1							0; e~1	0; e~1	0g, ãäå e~1	0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,
e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3					0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	2	2	¡31
A = B¡1			¡3	1	C
	B				C
	B				C
	@				A

00 ¡1

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

106.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 1; ¯ =

¡1; ~a = f¡3; 3; ¡2g; b = f¡1; ¡1; ¡3g.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

323

Вариант 1 - 107

¯¡1

¡4

¡9

¡4

107.1.

Вычислить определитель

12¯

¯¡

10¯

¯¡

18¯

¯¡

107.2.

Вычислить определитель

15¯

¯¡

0¡

107.3. Вычислить определитель произведения

матриц

A = 0

B =

0 3 .

B¡

107.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

3	¡3	¡2	C
A = B1	¡3	3	C
B			C
B			C
@			A

01 ¡1

107.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матри-

0öû4è		методом Гаусса.			0			1
0öû4è		0	¡31 0x11		0	9		1
B¡3 ¡3 ¡2C ¢ Bx2C				=	B¡8C
B	1 3		2 C Bx3C		B		4C
B¡			C B C		B¡			C
@			A @ A		@			A

107.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡1 ¡31 0x11 x121 0¡3 ¡11

= 0¡16 ¡121

@¡2 ¡2A ¢ @x21 x22A ¢ @¡1 3

A @¡24 ¡8 A

10 ¡2 3 ¡2 ¡2 ¡101

107.7. Вычислить ранг матрицы

0 ¡2 ¡2 ¡2 ¡2 0

9 C

@¡

324

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

107.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

3 2 ¡1 ¡11 0x11 001

¡7 ¡1 1 ¡1 1

C Bx2C B0C

1 1

1C Bx3C

=B0C

C B C

B C

3 2 1

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

3 1

C Bx

C B0C

C B

B C

@¡

A @ A

@ A

107.9. Найти общее решение0x1

системы уравнений

0¡30

¡8

¡6

¡1861Bx2C

Bx3C

CB C

B¡

AB C

107.10. Вычислить

@ A

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

2 0

@0 ¡2A

¡3 ¡21

107.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B4

¡!

107.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

2; 3

¡! =

3; ¯;

2 c

1; 1

векторы

= 1;

¡!

!¡

¡!

f ¡ g

¡ g ¡!

f ¡ ¡ g

, b , c компланарны. a

107.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; ¡1; ¡3), B(¡3; 3; ¡2), C(¡2; 3; 1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

107.14. Даны 4 точки A(¡3; ¡2; 2), B(¡3; 2; 1), C(3; ¡3; 3), D(2; ¡2; 3).

Вычислить: а)

j 4¡!

¡ 2¡¡! j

, á)

(4¡! ¡2¡¡!)

, â)

[4¡!

¡2¡¡!]

, ã)

[¡¡! [¡! ¡!]]

, ä)

AB;

AD; AB; AC

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

325

107.15. Доказать, что векторы ~a = f3; 5; 4g

, ~

b = f0; ¡5; ¡3g, ~c = f¡3; ¡2; ¡4g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f12; 39; 31g относительно этого базиса.

107.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f¡4; ¡4; 0g

, ~

b =

f4; ¡5; ¡5g è ~c = f¡5; 2; 4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 0, (~x; b) = 21

(~x;~c) = ¡16. ~a

= f¡4; ¡4; 0g

, ~

b = f4; ¡5; ¡5g, ~c

= f¡5; 2; 4g, (x;~a) = 0, (~x; b) = 21,

(~x;~c) = ¡16.

107.17. Найти значение скалярного произведения (2~u ¡4~v)(1~u ¡3~v), åñëè ~u = ¡1~a + 4b,

= 2

+ 4

j= 3 j b j= 5 ' = ( c ) cos

= 0 1

b и известны ~a

~a; b ,

107.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡5x2 ¡ 4y2 ¡ 1z2 + 2xy + 4xz + 0yz

107.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 ¡ 1y2 + 1z2 ¡ 8xy ¡ 12xz + 8yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

	107.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1					0; e~1	0; e~1	0g, ãäå e~1	0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,
e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3			0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0¡3 1		¡21
A = B¡1		1	¡3C
	B 3	4	2 C
	B		C
	@		A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

107.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

¡2; ~a = f¡2; 3; 3g; b = f¡2; 3; ¡3g.

326	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
		Вариант 1 - 108											¯
		¯	1	¡6				1		¡6			¯
108.1.	Вычислить определитель	¯	1	3			¡		1	6			¯
108.1.	Вычислить определитель	¯¡					¡						¯
		¯	1			6		2				6	¯
		¯	1			6		2				6	¯
		¯	2	¡				2		¡			¯
		¯	2		12			2			10¯
		¯		¡						¡			¯
		¯		¡						¡			¯
		¯											¯	¯
		¯	9	7			¡	6		12			27	¯
		¯	9	7				6		12			27	¯
		¯	3	2			¡	2		4			¯9	¯
		¯					¡							¯
108.2.	Вычислить определитель	¯	6		4		3			8				¯
108.2.	Вычислить определитель	¯	6		4		3			8			18¯
		¯¡		¡				2		¡			¡	¯
		¯	3	2				2		6			9	¯
		¯												¯
		¯	6		4		¡			8				¯
		¯	6		4		4			8			15¯
		¯		¡						¡			¡	¯
		¯¡		¡						¡			¡	¯
		¯												¯
		¯												¯	3	2	B =	0¡		1	4
108.3. Вычислить определитель произведения AB матриц														A =	0	1,	B =	0¡			1.
															@1	¡1A		@	1		¡3A

108.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	¡1	3	0
A = B	0	1	¡2C
B			C
B			C
@			A

0¡2 ¡1

108.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матри-

0öû4è		методом Гаусса.			0			1
0öû4è		1	¡31 0x11		0	23		1
B¡2 0			¡2C ¢ Bx2C	=	B¡4C
B	1	1 1 C Bx3C			B		7C
B¡		¡	C B C		B¡			C
@			A @ A		@			A

	108.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0¡3 ¡11 0x11 x121 0			3 ¡41		= 06 12				1
@	1 0	A ¢ @x21 x22A ¢ @¡2 ¡4A @1 ¡8A													1
				0	¡5		1		¡2	0	0	3			1
	108.7.	Вычислить ранг матрицы		B	¡7		2		¡1	0	0	3			C
	108.7.	Вычислить ранг матрицы		B		11	3		2	0	0	5			C
				B¡		3	2		¡	0	0			1	C
				B		3	2		3	0	0			1	C
				B											C
				B	¡			15	6	0	0	¡			C
				B	51			15	6	0	0		21C
				B											C
				@			¡					¡			A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

327

108.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

¡5 2 0 0 3

1 0 0 ¡1C Bx2C B0C

2 3 0 0

1C Bx3C =B0C

C B C

B C

6 3 0 0 3

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

35 20 0 0 15 C Bx

C B0C

C B

B C

@¡

A @ A

@ A

108.9. Найти

0x1

общее решение системы уравнений

018 0 6 6 181Bx2C

= 0191

Bx3C

CB C

AB C

@ A

108.10. Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

¡31

@¡3 ¡1A

0¡1

108.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B 1

¡2 ¡1C

108.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

B¡

¡!

ортогональны, а

¡!

1; 4; 2

¡! =

; 4

1; 5

векторы

¡!

b ,

¡!

, b

f¡

¡ g

¡!

f ¡ g

компланарны. a

108.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 3; 3), B(3; ¡1; 3), C(2; ¡1; 3).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

108.14. Даны 4 точки A(¡3; ¡1; 2), B(¡3; ¡3; 2), C(2; 3; 2), D(2; 1; 2).

[¡¡!

[¡! ¡!]]

Вычислить: а)

j ¡3¡!

¡ 2¡¡! j

, á)

(¡3¡! ¡2¡¡!)

, â)

[¡3¡!

¡2¡¡!]

, ã)

AB;

AD; AB; AC

д) квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани

ABC

¡¡! ¡!

, и) направляющие косинусы вектора AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

328

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

108.15. Доказать, что векторы ~a

= f1; 1; ¡5g

b = f3; ¡4; ¡3g, ~c = f2; 1; 0g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f¡23; 9; 27g относительно этого базиса.

108.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f5; ¡2; ¡4g

, ~

b =

f5; ¡1; ¡3g è ~c = f¡2; 5; ¡3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡38, (~x; b) =

¡34 è

(~x;~c) = ¡12. ~a

f5; ¡2; ¡4g

= f5; ¡1; ¡3g, ~c = f¡2; 5; ¡3g, (x;~a) =

¡38,

(~x; b) = ¡34, (~x;~c) = ¡12.

108.17. Найти значение скалярного произведения (3~u ¡2~v)(1~u ¡2~v), åñëè ~u = ¡2~a ¡2b,

= 4

+ 4

j= 5 j b j= 4 ' = ( c ) cos

= 0 8

~v ~a

b и известны

~a; b ,

108.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡4x2 ¡ 3y2 ¡ 4z2 ¡ 4xy + 0xz ¡ 2yz

108.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 2y2 + 1z2 + 12xy + 8xz + 12yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

108.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

¡31

A = B

¡1

B¡

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

108.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

2; ~a = f¡1; ¡3; ¡1g; b = f¡1; ¡1; ¡1g.

	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"																329
		Вариант				1 - 109
		¯¡3 ¡9				¡6			¡4¯
109.1.	Вычислить определитель	¯	3	12			6		4		¯
109.1.	Вычислить определитель	¯									¯
		¯	6	18		15			8		¯
		¯	6	18		15			8		¯
		¯	6	18		12			6		¯
		¯	6	18		12			6		¯
		¯									¯
		¯									¯
		¯									¯		¯
		¯	4	¡	9	¡		2	¡			6	¯
		¯	4		9			2	18			6	¯
		¯	2	¡	3	¡		1	¡	9¯		3	¯
		¯		¡		¡			¡				¯
109.2.	Вычислить определитель	¯	4		6			3	18			6	¯
109.2.	Вычислить определитель	¯	4		6			3	18			6	¯
		¯	2	¡		¡			¡				¯
		¯	2	3			1		6			3¯
		¯											¯
		¯¡		3			1		9			¡	¯
		¯	2	3			1		9			0	¯
		¯											¯
		¯¡											¯
		¯											¯
		¯											¯				0¡	2		1
109.3. Вычислить определитель произведения									матриц					3	1 0	,	0¡		¡	1
							AB						A = 0¡3 2 21				B = B¡3 ¡3C.
													@	¡	A		B 3			3C
																	B		¡	C
																	@			A

109.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	¡1	0	2
A = B	2	¡2	¡3C
B			C
B			C
@			A

02 ¡3

109.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матри-

цы и методом Гаусса.						021
0¡2 ¡3 4				1 0x11		021
B	1	1	2	C ¢ Bx2C	=	B4C
B	2	3	1C Bx3C B1C
B			¡	C B C		B C
@				A @ A		@ A

109.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0¡1 31 0x11 x121 0¡1 ¡11	=	05 ¡131
@¡1 1A ¢ @x21 x22A ¢ @¡3 0 A @7 ¡5 A								¡2 ¡41
	0	4		1	¡1		0	¡2 ¡41
109.7. Вычислить ранг матрицы	B	2		1	¡1		0	¡1 ¡1C
109.7. Вычислить ранг матрицы	B		5	1	2		0	2		1	C
	B¡			¡		2	0		2		C
	B	5		1		2	0		2	1C
	B										C
	B	7		3	¡	4	0	¡	3	¡	C
	B	7		3		4	0		3	0	C
	B										C
	@				¡			¡			A

330

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

109.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

0¡2 0 ¡1 ¡1 2

4 0 ¡1 2 ¡1C Bx2C B0C

11 0 3

1C Bx3C

=B0C

C B C

B C

3 0 3

1 3

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

34 0 10 7

C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

109.9. Найти общее0x11

решение системы уравнений

028

1761Bx2C

0221

Bx3C

CB C

B13 3 1 1 79 CBx4C

B46C

CB C

AB C

109.10. Вычислить @ A

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

@0 ¡1A

0¡1

109.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B

¡2

109.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

B¡

¡!

ортогональны, а

¡!

3; 2; 2

¡! =

; 1

4; 3

векторы

¡!

!¡

¡!

f ¡ g

, b

f¡

¡!

f ¡ g

b , c компланарны. a

109.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; 2; ¡2), B(¡3; ¡2; 1), C(3; ¡1; 1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

109.14. Даны 4 точки A(1; 1; ¡2), B(2; 2; 3), C(¡2; ¡3; 3), D(1; ¡2; ¡3).

j 3¡!

+2¡¡! j

(3¡!

2¡¡!)

[3¡!

2¡¡!]

[¡¡!

[¡! ¡!]]

Вычислить: а)

, á)

AB; CD

, â)

AB; CD

, ã)

AD; AB; AC

, д) квадрат

площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC, и) направ-

ляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3733 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014122.37 Кб35Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб11Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб410Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб32Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб25Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб87Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб27Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб24Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб25Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб22Типовой расчет №3.rar_76
#
20.06.2014451.98 Кб20Типовой расчет №4.rar_79