Типовой расчет №1

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

301

99.15. Доказать, что векторы ~a

= f¡5; ¡1; 1g

, ~

= f5; 3; 3g, ~c = f¡5; 3; 3g образуют

b

базис и найти координаты вектора ~

d = f10; ¡8; ¡10g относительно этого базиса.

99.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f5; ¡4; 0g

, ~

b = f3; 4; ¡2g

~

è ~c = f¡2; 5; ¡2g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 27, (~x; b) = 7 è (~x;~c) =

¡11. ~a = f5; ¡4; 0g

, ~

~

b = f3; 4; ¡2g, ~c = f¡2; 5; ¡2g,

(x;~a) = 27, (~x; b) = 7, (~x;~c) = ¡11.

~

99.17. Найти значение скалярного произведения (2~u ¡ 3~v)(¡4~u ¡ 1~v), åñëè ~u = 1~a ¡ 4b,

= ¡3

+ 3

j

j= 5 j b j= 4 ' = ( c ) cos

= 0 7

~v

~a

~

~a

,

~

,

~

,

'

:

b и известны

~a; b

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

0 3

¡3

¡11

A = B¡1

¡1

3 C

B 1

¡

3

2C

B¡

¡ C

@

A

99.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

303

100.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

02 ¡1 2 0 3

B9 3 ¡1 0 1

C Bx2C B0C

B5 1

1 0 1

C Bx3C

=B0C

B

¡

C B C

B C

B1 2

1 0 1C Bx

C B0C

B

¡

C B

4C

B C

B

C B C

B C

B1

2 5 0 5

C Bx

C B0C

B

¡

C B

5C

B C

@

A @ A

@ A

100.9. Найти общее

0x1

1

решение системы уравнений

0 3 ¡7 0 ¡2 62

1Bx2C = 0

¡7 1

B¡

2

3

1

1

¡

23

Bx3C

B

2

C

3 2 3 1

7

CB C

B

CBx4C

B

13C

B¡

¡

CB C

B¡

C

@

AB C

@

A

Bx

C

100.10. Вычислить

B

5C

A

@ A

01

собственные числа и собственные векторы матрицы

.

A =

6

@0

7A

0¡2

¡1 ¡11

100.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B

4

1

1

C

B

2

1

1

C

B

C

100.12. Найти значения параметра

¯

, при которых векторы

a

è

¡!

@

A

¡!

b

ортогональны, а

a

¡!

=

1;

4; 2

¡! = 5; ; 3

=

4;

5

векторы

3;

¡!

!¡

¡!

f¡ ¡ g

,

b

f

¯

g

¡!

f ¡ ¡ g

.

, b , c компланарны. a

c

100.13. Даны 3 вершины треугольника A(3; 2; 0), B(¡2; 3; ¡2), C(¡2; 3; ¡2).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

C

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

100.14. Даны 4 точки A(¡2; 1; ¡2), B(0; 1; ¡2), C(¡3; 3; ¡2), D(3; 3; ¡1).

[¡! ¡!]]

j ¡2¡! ¡ 3¡¡! j

(¡2¡!

¡3¡¡!)

[¡2¡!

¡3¡¡!]

[¡¡!

Вычислить: а)

AB

CD

, á)

AB;

CD

, â)

AB;

CD

, ã)

AD; AB; AC

,

304

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

100.15. Доказать, что векторы ~a

= f¡2; 3; 4g

,

~

b = f3; 0; 2g, ~c = f1; ¡3; ¡3g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f12; ¡9; ¡3g относительно этого базиса.

100.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f3; ¡3; ¡2g

, ~

b =

~

f5; ¡5; 2g è ~c = f2; ¡4; ¡3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡14, (~x; b) =

¡50 è (~x;~c) = ¡7. ~a = f3; ¡3; ¡2g

, ~

~

b = f5; ¡5; 2g, ~c = f2; ¡4; ¡3g, (x;~a) = ¡14, (~x; b) = ¡50,

(~x;~c) = ¡7.

~

100.17. Найти значение скалярного произведения (¡4~u ¡1~v)(1~u + 2~v), åñëè ~u = 2~a + 4b,

= 4

+ 3

j

j= 4 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 4

~v

~a

~

~a

,

~

,

~

'

:

b и известны

~a; b ,

100.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

0

2

¡2

11

A = B

3

4

1C

B

1

¡

1

3C

B¡

C

@

A

100.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

305

Вариант 1 - 101

¯

¯¡1 ¡2

9

4

101.1.

Вычислить определитель

¯

1

0

9

4

¯

¯¡

¯

¯

3

6

24

¯

¯

12¯

¯

1

2

¡

9

¡

2

¯

¯

¯

¯

¡

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

3

16

¡

¡

¯

¯

3

18

27¯

¯

1

6

1

6

9

¯

¯¡

¡

¡

101.2.

Вычислить определитель

¯

3

18

4

18

27

¯

¯

¯

¯

1

6

¡

1

¡

4

9

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2

12

¡

¡

¯

¯

2

12

21¯

¯

¡

¡

¯

¯¡

¯

¯

¯

¯

¯

0¡3

21, B =

2

2

101.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

2

0¡1

¡

21.

1

0

3

B¡

3

C

@

A

B

¡

1C

B¡

C

@

A

101.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A¢A¡1 = E, найти

сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

¡1 ¡1 ¡1

C

4

0

4

B

4

4

3

C