3. Линеаризация

Теперь проведём линеаризацию. Пусть номинальные (установившиеся приdV/dt=dC/dt=0) значения переменных величин равны. Подставив их в (П1.4)-(П1.6), получим алгебраические связи между переменными:

0=,(П1.7)

0=,(П1.8)

. (П1.9)

Линеаризация обычно осуществляется в окрестности номинальных значений. Исследуются отклонения от номинальных значений, предполагаемые малыми и допускающими линеаризацию без опасности возникновения значительных ошибок. В нашем примере объем раствора в баке и его концентрация характеризуют текущее состояние объекта. Поэтому в математической модели состояниями являются отклонения объема V(t)-V₀=V(t)=ξ₁(t) и концентрации

C(t)-C₀=C(t)=ξ₂(t) от установившихся значений. Аналогично, отклонения управлений обозначим μ₁(t) и μ₂(t). В результате можно записать для состояний:и управлений:.

Для того, чтобы линеаризовать, разложим все величины в уравнениях (П1.5), (П1.6) в ряд Тейлора с удержанием линейных частей разложения. Кроме произведения в (П1.6), все переменные входят в уравнения (П1.5), (П1.6) в первой степени и при линеаризации сохраняют структуру. Длялинейная часть разложения получается, следуя(3.2), в виде:

, (П1.10) . (П1.11)

2.1.2.4. Линейная модель объекта

Заменив в соответствии с (П1.9) на, а затем, подставив (П1.10) в (П1.11) и обозначив(время заполнения бака), получим два линейных дифференциальных уравнения, которые в векторно-матричной форме имеют вид:

, (П1.12)

где X(t)- вектор состоянийX(t)=;

U(t)– вектор управленийU(t) =μ() = (μ₁(t), μ₂(t))^T.

Выходы объекта – отклонения расхода и концентрации раствора:

, (П1.13)

, (П1.14)

Уравнение для выходов в матричной форме:

. (П1.15)

Пусть установившиеся значения численно равны ,,,,

.

Подставив эти значения, получим:

, (П1.16)

. (П1.17)

Данная система стационарная, следовательно, её фундаментальная матрица имеет вид и вычисляется следующим образом: т.к.

, то получаем , (П1.18)

, (П1.19)

. (П1.20)

2.2. Временные характеристики систем управления (Лекция 4)

2.2.1. Линейные нестационарные системы

2.2.1.1. Общий вид описания системы

В качестве примера будут использоваться наиболее простые линейные системы.

Их движение описывается дифференциальными уравнениями вида (1.9)

= A(t)x(t) + B(t)w(t), t³t₀ , (2.4)

где x(t)-n-мерный вектор состояния,

w(t) – L-мерный вектор входных воздействий,

A(t), B(t) – функциональные матрицы, соответствующих размеров; их

элементы – функции времени.

В общем случае кроме состояний x(t), имеются выходные величины, которые могут являться алгебраической функцией состояний. Обозначим их векторy(t)и запишем в общем виде:

y(t) = C(t)x(t) , t³t_0. (2.5)

Для того, чтобы выяснить поведение объекта, надо решить (2.4), то есть найти x(t). Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение состоит из общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнения.