4. Цифровые системы управления.

4.1. Модели, формула полной реакции, устойчивость. (Лекция 14)

4.1.1. Модели

4.1.1.1. Кусочно-постоянный процесс

Обратимся теперь к дискретным системам, которые описываются моделями вида (1.6), (1.8). В них используются кусочно-постоянные сигналы и функции. Такие функции могут возникать естественным образом или получаться в результате дискретизации непрерывных величин.

Например, состояния счетов в банке описываются кусочно-постоянными функциями, которые изменяют свои значения только в моменты перечисления средств.

При управлении непрерывным объектом с помощью дискретного контроллера сигналы с объекта на контроллер подаются через аналогово-цифровой преобразователь и дискретизируются. Дискретные управляющие величины, вычисляемые контроллером, преобразуются цифро-аналоговым преобразователем и подаются на аналоговые исполнительные устройства объекта.

На рис. 4.1 показан график кусочно-постоянного процесса, в котором значения z(t) изменяются на правых границах интервалов времени.

Рис. 4.1. Кусочно-постоянный процесс.

Формально такой график описывается так: z(t) = z(t_i)t[t_i, t_i+1). Правая граница в интервал не включается, на ней значение функции изменяется скачком от z(t_i) до z(t_i+1). Интервалыt_i = t _i+1 - t _i,i= 0, 1, …. не обязательно должны быть равными, но для удобства и простоты часто их принимают постояннымиt_i=ti = 0, 1, ..., тогдаt_i=t₀+itили приt₀=0t_i=it.

Моменты времени нумеруются t _i+1= t_i+t_i, i = 0, 1, ... и, учитывая однозначное соответствие t_ii, номер момента может быть использован в качестве дискретного времениz(t_i) =z(i).

4.1.1.2. Описание дискретных систем

Описание дискретных систем можно осуществлять дискретными разностными уравнениями вида

x(i + 1) = A(i) x(i) + B(i) u(i), (4.1)

y(i+1) =C(i+1)x(i+1). (4.2)

Из описания следует, что это нестационарная система, так как матрицы зависят от времени (т.е. их компоненты являются функциями i). Динамика системы описывается разностным уравнением (4.1), которое является аналогом дифференциального уравнения в непрерывной системе. Уравнение для выходных величин (4.2) является чисто алгебраическим. Указание номера момента времени у матриц подчеркивает, что они меняются в зависимости от момента времени.

Если матрицы постоянны, т.е. они числовые, то система будет стационарной

x(i + 1) = A x(i) + B u(i), (4.3)

y(i+1) = C x(i+1). (4.4)

Смысл векторов и матриц в моделях (4.1) - (4.4) тот же, что и в уравнениях непрерывной системы. Дискретные системы могут возникать естественным образом или в результате дискретизации исходно непрерывной системы.

4.1.1.3. Пример дискретной системы (Пример 4.1)

Пример 4.1. Естественной дискретной системой является банковский счёт.

Пусть x(i) - сумма денег на счете,a(i) - процентная ставка в банке вi- месяц,u(i) - суммарный взнос вi- месяц, тогда динамика состояния счета описывается моделью:

x(i+1) = a(i)x(i) + u(i) , i = 0, 1, 2,..., x(0) – должно быть задано (начальное состояние - первый взнос)

4.1.1.1. Дискретизация непрерывной модели

Во многих ситуациях целесообразно перейти от непрерывной модели к дискретной. Преобразование входных и выходных сигналов осуществляется преобразователями (например, непрерывных сигналов в дискретные - импульсными элементами; дискретных в непрерывные - фиксаторами нулевого порядка).

Преобразование непрерывного описания модели объекта системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1.9), в дискретное, описание разностными уравнениями вида (1.10), может осуществляться разными способами. Во-первых, приближенно, опираясь на замену дифференциалов в дифференциальных уравнениях отношениями конечных разностей. Во-вторых, более точно приведенным ниже способом.

Пусть имеется объект, описываемый дифференциальными уравнениями

(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), (4.5)

y(t) = C(t)x(t). (4.6)

Каждая компонента u(t) вектора входного процессаu(t) заменяется кусочно-постоянной последовательностью, как показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Схема дискретизации входного процесса.

В результате, вместо непрерывных функций u(t), на вход системы будет подаваться последовательность кусочно-постоянных значений:u(t_i)t[t_i,t_i+1),i= 0, 1, 2, …

Уравнение (4.5) есть уравнение (1.9) и его решение имеет вид (2.12):

x(t) = Ф (t,t₀)x(t₀) + Ф (t,) B() u()d. (4.7)

Обозначим t = t_i+1  i+1, t₀ = t_i  i, u() = u(t_i)  t_i    t_i+1,

А(i) = Ф(i+1,i) = Ф(t, t₀), В(i) =Ф (t_i+1 , ) В()d .

Применив эти обозначения, получим из (4.7):

x(i+1) = A(i)x(i) + B(i)u(i), (4.8)

y(i+1) =C(i+1)x(i+1). (4.9)

Если система стационарная, то матрицы вычисляются особенно просто

Ф(t,t₀) = e^A(t-t0) =e^At , Ф(t,) d B =  e ^{A(t - )} B.