4.2. Синтез оптимального линейного дискретного регулятора (Лекция 15)

4.2.1. Методика синтеза оптимального управления

4.2.1.1. Многошаговое управление

Единственность структуры линейных уравнений(алгебраических, дифференциальных, разностных) обеспечивает единственность их решений, которые могут быть записаны в общем виде через параметры исходных уравнений(скалярных или векторных). Для систем дифференциальных уравнений решение имеет вид (3.12), а для дискретных систем – (4.11).

Единственность решения линейных уравнений позволяет записать аналитически критерий управления, который отражает смысл, вкладываемый в понятие оптимального управления.

Под оптимальным управлением может пониматься такое, которое обеспечивает максимально быстрое достижение цели или/и минимальное уклонение от цели, минимальный расход ресурсов, максимальную прибыль и т.д. и т.п. Эти цели и должны быть формально отражены в критерии. Они должны быть выражены через выходные величины, которые связаны с состояниями, или непосредственно через состояния системы. В результате решения задачи оптимального управления находятся значения управляющих воздействий, которые приводят систему в желательное состояние.

Описание дискретных систем наиболее прозрачно и позволяет наглядно проиллюстрировать содержание и методику синтеза оптимального управления.

Рассмотрим систему (4.1)

x(i + 1) = A(i) x(i) + B(i) u(i) (4.19)

и на её примере покажем наиболее простой способ определения оптимального в некотором смысле управления. Будем считать, что состоянием является отклонение соответствующих величин от заданных значений, т.е. x_i=x_i=X_i – X_0i, гдеX_i – текущее значениеi-ой компоненты вектора состояний, аX_0i– её заданное состояние.

Из (4.11) и (4.15) видно, что перевод системы из начального состояния x(0) в конечное состояниеx(N) осуществляется за счет управляющей последовательностиu(0),u(1), … , u(N-1). Такое управление называется многошаговым илиN- шаговым. В соответствии с пп. 3.1.1.1, управляемая система может быть переведена из состоянияx(0) в состояниеx(N) за конечное число шаговN. Если состояниями, как оговорено выше, являются уклонения от заданных значений, то целью управления является приведение системы в состояние, в которомx(N)=0. Ниже будет показано, как определить оптимальное в этом смысле одношаговое управление для системы вида (4.19) и каким образом можно перейти к отысканию многошагового управления.

4.2.1.2. Критерий оптимальности

Критерий оптимальности может быть представлен в различной форме. Многообразие отражено в справочниках по теории управления, содержащихся в списке литературы. Достаточно часто используется квадратичный критерий следующего вида:

x ^T(i+1) V₁(i+1) x(i+1) + u^T(i) V₂(i) u(i)  min. (4.20)

Его широкое применение связано не только с возможностью отразить формально важные требования к управлению, но и с возможностью (при отсутствии ограничений) аналитического вычисления управлений, обеспечивающих достижение минимальных значений критерия.

В критерии - два слагаемых, каждое из них представляет собой квадратичную форму. Как сказано выше, будем считать, что состояниями являются отклонения соответствующих величин (компонент вектора x(i)) от заданных значений. Тогда первое слагаемое в (4.20) представляет собой квадратичную форму от этих отклонений. МатрицаV₁задает приоритеты отклонений состояний, ранжирует их по важности. Для наглядности предположим, что весовая матрицаV₁диагональная. Тогда первое слагаемое в (4.20) в развернутом виде выглядит так:

x ^T(i+1) V₁(i+1) x(i+1) = v_{1 kk} (i+1)x²_k (i+1) (4.21)

и представляет сумму квадратов компонент вектора состояний (в соответствии с оговоренным смыслом компонент первое слагаемое есть сумма квадратов ошибок состояний взятых с весовыми коэффициентами). Очевидно, что минимизация этого слагаемого соответствует приближению к нулю отклонений состояний от заданных значений.

В реальных задачах управления всегда имеются ограничения на ресурсы управления, на диапазон значений компонент u_j(i),j=1, 2, …,r вектора управленийu(i). Если бы ограничения на ресурсы отсутствовали, то не было бы потребности в решении задач управления. Ограничения на ресурсы могут быть заданы «жестко» в виде равенств или/и неравенств на компоненты вектораu(i) или «мягко» в виде второго слагаемого в критерии (4.20), по форме совпадающего с (4.21).

Второе слагаемое в (4.20) по структуре полностью совпадает с первым (4.21), но представляет квадратичную форму от управлений и является нежестким ограничением на их величину.

Вариацией значений компонент матрицы V₂можно учитывать различную «стоимость» управлений. Вариацией значений компонент матрицыV­_{1 ­}по отношению кV₂, может быть соотнесена «стоимость» ошибок управленияx(i) и «мощности» управленияu(i).

В критерий (4.20) не входит начальное состояние, которое задано, и не входит управление в последний момент времени u(N) , т.к. оно влияет на состояниеx(N +1), но не влияет на состояниеx(N) в конечный момент времени рассматриваемой траектории.