5. Стохастические системы
5.1. Стохастические процессы (Лекция 16)
5.1.1. Определение и естественные характеристики случайного процесса
5.1.1.1. Определение случайного процесса
Различные внешние возмущающие воздействия, действующие на систему, имеют чаще всего случайный или стохастический характер. Такие воздействия являются стохастическими процессами. Стохастический процесс- это семейство случайных функций времени. Каждая отдельная функция времени называется реализацией процесса.
Пусть 1(t),2(t), …,n(t) - скалярные стохастические процессы (см. рис.5.1), тогда составленный из них вектор:
V(t) = (v1(t), v2(t), …,vn(t)) Т (5.1)
представляет собой векторный стохастический процесс. Пусть его компоненты принимают действительные значения для всех t t0,t0– задано.
Стохастический процесс может быть определен заданием совместного распределения вероятностей
P (v(t1) v1, v(t2) v2, …, v(tm) vm, ) (5.2)
для всех действительных значений v1,v2, …,vm,t1 ,t2 , …,tm и для любого натуральногоm.
Рис. 5.1. Множество реализаций случайного процесса.
Запись v(ti)vi означает
vj (ti)vij ,j= 1,2, …,n,i= 1,2,…,m. (5.3)
Функция совместного распределения вероятностей (5.2) известно не всегда, поэтому часто пользуются характеристиками совместного распределения, которые приводятся ниже.
Стохастические процессы могут быть стационарными и нестационарными.
Определение.Стохастический процессV(t) является стационарным, если
P ( v(t1) v1, v(t2) v2, …, v(tm) vm, ) = P ( v(t1 + ) v1, v(t2 + ) v2, …,
v(tm +)vm) (5.4)
выполняется для любых t1,t2, ……,tm ,v1, … ,vm, для каждогоmи для всех.
Отсюда следует, что стационарный процесс инвариантен относительно начала отсчета.
5.1.1.2. Характеристики случайного процесса
Определение.ПустьV(t) – векторный случайный процесс. Тогда:
m(t) =E[v(t) ] - вектор средних значений процесса; (5.5)
Rv(t1 ,t2) =E{[v(t1) -m(t1)] [v(t2) -m(t2)]T} - (5.6)
ковариационнаяматрица процесса;
Cv(t1,t2) =E[v(t1)v T(t2)] (5.7)
матрица смешанных моментоввторого порядка;
R v (t ,t) =Q(t) (5.8)
матрица дисперсийи
C v (t ,t) =Q'(t) (5.9)
матрица моментов второгопорядка.
Из (5.6) и (5.7) видно, что если m(t) = 0, тоRv(t1 ,t2) =Cv(t1,t2).
Следует иметь в виду, что здесь фигурируют матрицы и векторы. Поэтому развернутая запись, например, матрицы (5.7) Cv(t1,t2) имеет вид:
Cv(t1,t2) =E
.
Можно доказать, что Rv(t1 ,t2) иCv(t1,t2) имеют следующие свойства:
а) Rv (t2 ,t1) =RTv (t1 ,t2) для любыхt 1,t 2 ;
Cv(t2,t1) =CTv(t1,t2) для любыхt 1,t 2 ;
б) Q(t) =Rv (t,t)0t;
Q' (t) =Cv (t ,t)0t;
в) Cv(t1,t2) =Rv (t1 ,t2) +m(t1)mT(t2) для любыхt 1,t 2 .
Если v(t) - стационарный стохастический процесс, то его среднее значение постоянно, а ковариационная матрица зависит только от сдвига аргументов (t1–t2) . Стохастический процессv(t) является стационарным в широком смысле, если его матрица моментов второго порядкаCv (t,t) конечна для всех значений времениt.