5.2.4.7. Оценка длительности переходных процессов
Установившиеся ошибка или состояние системы достигаются после некоторого переходного процесса, в котором значения ошибки могут быть существенно больше установившегося значения. Поэтому длительность переходных процессов желательно уменьшать.
Временем установления определенного процесса (среднего значения квадрата ошибки, например) называется время, в течение которого переменная достигает установившегося значения в пределах заданной точности. Если точность 1% от максимального отклонения от установившегося значения, то говорят об 1% времени установления. В начальный момент ошибка может быть большой.
Отсюда принцип проектирования: система должна быть спроектирована так, чтобы время установления среднего значения квадрата ошибки слежения было по возможности малым.
В соответствии с (5.56) среднее значение квадрата ошибки слежения состоит из двух частей. Одна обусловлена переменной составляющей эталонной переменной, а другая - постоянной. Поведение составляющей от переменной части оценивается дисперсией, которая находится трудоёмким решением матричного дифференциального уравнения.
Анализ поведения в переходном процессе составляющей от постоянной части эталонной переменной проще. Его можно выполнить, анализируя переход системы из ненулевых начальных условий и реакцию на ступенчатое входное воздействие эталонной переменной. Для асимптотически устойчивой линейной системы с постоянными параметрами некоторую информацию можно получить из расположения на плоскости полюсов замкнутой системы.
Реакция такой системы представляет собой сумму экспоненциально демпфированных движений с постоянными времени, равными отрицательным обратным величинам действительных частей характеристических чисел замкнутой системы. Поскольку 1%-е время установления экспоненциального процесса эталонной переменной
(5.63)
равно 4,6, граница для 1%-го времени установленияtsкакой-либо переменной определяется формулой:
(5.64)
где i,i= 1,2, …,n- характеристические числа системы. Заметим, что для квадрата переменной время установления равно половине времени, необходимого для самой переменной.