5.2.2.4. Моделирование стохастических процессов.

Часто в качестве модели стохастического процесса используется линейная дифференциальная система, возбуждающаяся белым шумом. Выход такой модели описывается уравнением:

S(t)=C(t)x(t), (5.51)

где x(t)моделирует состояние объекта, которое в свою очередь описывается моделью:

, (5.52)

где - входной процесс, являющийся белым шумом.

Использование такой модели обосновывается тем, что:

а) стохастические явления, встречающиеся в природе, часто связаны с воздействиями типа быстро меняющихся флуктуаций на инерционную систему. Такие воздействия – достаточно хорошо моделируются белым шумом, а инерционность системы – дифференциальным уравнением

б) для линейной системы достаточно знать среднее значение и ковариационную функцию (матрицу). Именно эти характеристики могут быть определены экспериментально с достаточной для практики точностью.

5.2.2.5. Моделирование стационарного процесса уравнением 1-го порядка (Пример 5.3)

В результате экспериментальных исследований получено, что ковариационная функция стохастического скалярного процесса описывается экспоненциальной функцией:

, (П53.1)

и процесс стационарен.

Покажем, что для такой процесс адекватно моделируется состоянием дифференциальной системы первого порядка, на вход которой подается стохастический процесс типа белого шума:

, (П53.2)

где – белый шум интенсивностью, а– стохастическая величина с нулевым средним и дисперсией.

В этом можно убедиться, если в выражение (П52.3) подставить . Получим:

;

т.к. , то.

5.2.3. Некоторые принципы проектирования следящих систем.

5.2.3.1. Устойчивость

Первый принцип проектирования состоит в том, что система должна быть асимптотически устойчива, т.е. расширенная матрица системы (5.27) должна иметь характеристические числа со строго отрицательными действительными частями.

Характеристический полином замкнутой системы (5.27) представляет определитель её матрицы:

. (*)

Расширенная матрица (*) может иметь большие размеры. В этом случае может оказаться полезным её блочное представление:

. (**)

Определитель расширенной матрицы может быть записан через её блоки при отличии от нуля определителей главной диагонали двумя способами:

1) при ;

2) при .

Используя второй вариант, получаем:

.

Этот характеристический полином может быть приведен к виду:

.(5.53)

Исследование (5.53) позволяет проверить систему на устойчивость. Свойства объекта отражаются в (5.53) матрицей А, если объект исходно неустойчив, то стабилизация может быть обеспечена изменением параметров регулятора, влияющих на значение матрицы L и расширенной матрицы замкнутой системы.

5.2.3.2. Требования к следящей системе

В пп. 5.2.1.4. приведена (см. рис. 5.3) укрупненная блок-схема замкнутой системы. На ней показаны основные передаточные матрицы системы. Уравнения (5.40), (5.41) показывают взаимосвязь передаточных матриц. Из них видно, что передача эталонной переменной r(t) на выходную величинуz(t) определяется матрицейT(p), а передача эталонной переменнойr(t) на управлениеu(t) характеризуется матрицейN(p). Обе эти матрицы выражаются через матрицы исходного описания и важно отметить, что они взаимосвязаны.

Основной принцип проектирования состоит в том, что следует добиваться самого низкого из возможных среднего значения квадрата ошибки слежения, не допуская при этом превышения средним значением квадрата управляющей переменной некоторого заданного значения, т.е. следует добиваться при.

Требования качества системы могут быть обеспечены выбором параметров матриц T(p) и N(p). Задача проектирования системы усложняется из-за взаимозависимости этих матриц и невозможности их автономного изменения.