5.2.1.2. Интегральные характеристики качества регулирования

В системах слежения в отличие от систем стабилизации заданное значение управляемой переменной является не постоянной, а переменной случайной величиной, для характеристики которой могут быть использованы приведенные в начале (пп. 5.1.1.1) статистические величины. Для характеристики качества функционирования систем слежения используют среднее значение квадрата ошибки слежения C_e(t) и среднее значение квадрата управляющей переменнойC _u(t), которые определяются так:

(5.30)

(5.31)

где - ошибка (5.32)

и u(t) – векторы соответствующей размерности,r(t) – заданное значение эталонной величины,Е– обозначает операцию взятия математического ожидания, W_e(t),W_u(t),tt₀– неотрицательно определённые весовые матрицы, которые задают приоритеты компонент векторовeиuпо отношению друг к другу.

Выражение для управления было получено (5.29), а выражение для ошибки получается в результате подстановки (5.28) в (5.32):

. (5.33)

Подставив (5.33) и (5.29) в (5.30) и (5.31), получим выражения для средних значений квадратов управляющей переменной C _u(t) и ошибки слежения C_e(t), которые характеризуют качество управления.

5.2.1.3. Среднее значение и дисперсия характеристик качества регулирования

Характеристики (5.30) и (5.31) удобно представить в виде суммы среднего значения и дисперсии. Среднее значение, отражающее детерминированную часть, определяется в виде математического ожидания соответствующей характеристики:

, ,. (5.34)

Величина среднего значения (5.34) вычисляется с помощью (5.29) и (5.33), при этом стохастические составляющие эталонного воздействия и возмущений,заменяются своими средними значениями. В качестве начального состояния принимаются средние значения вектора.

Обозначим: ,– средние значения, а,– отклонения от них, т.е.

, .

Тогда среднее значение квадрата ошибки и входной переменной может быть представлено в виде:

, (5.35)

, (5.36)

где ,,– заданные неотрицательно определенные () весовые матрицы .

Будем считать, что ,– диагональные, тогда (5.35), (5.36) дают математическое ожидание суммы квадратов отклонений компонент соответствующих векторов.

5.2.1.4. Передаточные функции замкнутой системы

Выражения для вычисления иможно получить следует из объединенного описания замкнутой системы (5.27). Важнейшими являются передаточные функции с управляющего воздействия на выходные и измеряемые величины и с эталонной величины на измеряемые выходные величины и управления. Именно к эти м передаточным функциям приводится описание замкнутой системы (5.27). Взаимосвязь этих функций демонстрируется приведенной ниже на рис.5.3 схемой.

Рис. 5.3. Блок-схема замкнутой системы

(5.37)

(5.38)

(5.39)

где

(5.40)

(5.41)

В (5.38)-(5.39) курсивом обозначены изображения по Лапласу векторов входных и выходных величин. Важно отметить, что передаточные функции K(p),Т(р) иN(p) жестко взаимосвязаны, так что нельзя независимо изменить одну из них. Значения введенных характеристик качества (5.35), (5.36) в конечном итоге зависят от передаточных функций (5.40), (5.41), от расположения корней их характеристических уравнений на комплексной плоскости. Вследствие взаимосвязанности передаточных функций при синтезе управления необходимо найти компромисс между противоречивыми требованиями.