5.1.2. Спектральное представление случайного процесса

5.1.2.1. Спектр функции

Преобразование Лапласа осуществляется с помощью функции e^pt, где

р = i- комплексная переменная. В задачах управленияt– время, которое принимает значения от -до +. Величины, получающиеся при решении задач управления должны быть конечными и приt

Так как e ^pt = e ^t e ^it = e ^t (cos t + i sin t) и |cos t + i sin t| = 1,

то при 0 получаем |e^pt|приt, а при0 имеем |e^pt|-приt-. Поэтому, чтобы экспонента была ограниченной необходимо иметь0, т.е. чтобы использовались только «гармоники»

e ^it = cos t + i sin t (5.10)

Суммы гармоник с различными значениями амплитуды на разных частотах:

f(t) =a_ke^{i }_k ^t (5.11)

позволяют получать более сложные функции времени.

Набор частот _kв (5.11) называется спектром функцииf(t). Используя (5.10) и

формулы Эйлера:

cos t = (e ^it + e ^{– i t})/ 2, sin t = (e ^it - e ^{– i t})/ 2 i (5.12)

можно переходить от экспонент к косинусам и синусам и наоборот.

Формула (5.11) дает дискретный спектр, т.к. _k - дискретные значения частот,а_к– соответствующие им амплитуды. Если вместо дискретных использовать непрерывные значения частоты, т.е. функциюF(), то получится непрерывный спектр разложения функцииf(t):

f(t) =F()e^itd, (5.13)

в котором частота может занимать всю действительную ось или любую её часть.

5.1.2.2. Спектральная плотность

В (5.13) на малый интервал частот [,+d] приходится слагаемое. Сравнивая его с (5.11), можно видеть, чтопредставляет амплитуду колебаний, соответствующую заданному интервалу частот. Таким образом,можно рассматривать как плотность амплитуды, соответствующей заданному интервалу частот, поэтомуназываютспектральной плотностью функцииf(t).

Используя представление комплексной функции с помощью двух вещественных функций, т.е.

и тригонометрическое представление экспоненты, можно получить следующее представление вещественной функции f(t):

. (5.14)

5.1.2.3. Физический смысл гармонического анализа случайного процесса

Вспомним простые факты из теории колебаний. Пусть имеется колебательный контур – осциллятор с малым сопротивлением (слабым затуханием). Если он испытывает гармоническое внешнее воздействие с частотой , то в нём возбуждаются гармонические вынужденные колебания с той же частотой. Амплитуда этих колебаний тем больше, чем ближек₀- собственной частоте колебаний осциллятора. Эта избирательность осциллятора выражена тем сильнее, чем меньше затухание. В предельном случае, когда затухание отсутствует вовсе, при=₀ наступает явление резонанса, при котором амплитуда растёт неограниченно.

Если гармонический внешний сигнал подводится к системе осцилляторов с разными собственными частотами, то на сигнал отзовётся из них тот, у которого собственная частота ₀ближе к частоте воздействия.

Если на такую систему воздействует смесь гармоник, т.е. воздействие вида (5.11), то на них отзовутся те осцилляторы, у которых собственные частоты совпадают с какой-либо из внешних частот _к . При этом амплитуда вынужденных колебаний осциллятора с собственной частотой_0кбудет пропорциональна амплитудеа_квнешнего воздействия на этой частоте.

Аналогичная картина получается при наложении непрерывного воздействия (5.13). Отсюда следует, что система осцилляторов позволяет осуществлять гармонический или спектральный анализ внешнего воздействия. Формулы (5.13), (5.14) позволяют по спектральной плотности восстановить функцию f(t).