2.4.1.2. Частотная передаточная функция

Периодическое входное воздействие можно представить в показательной форме:

w(t) = w_m e^jwt , t ³0. (2.25)

Пусть оно действует на систему

= Ax(t) + Bw(t), (2.26)

y(t) = Cx(t). (2.27)

Так как уравнение (2.26) неоднородное, то его решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение было ранее определено. Частное решение неоднородного уравнения может быть определено в виде:

x_ч(t) = x_m e^jwt, x_m = const. (2.28)

Подставив (2.25) и (2.28) в (2.26), получим:

x_m jw e^jwt = A x_m e^jwt ₊ B w_m e^jwt,

(jwI -A)x_m e^jwt = B w_m e^jwt ,

x_ч (t) =(jwI -A)^-1 B w_m e^jwt . (2.29)

Общее решение однородного уравнения в показательной форме имеет следующий вид:

x_o (t) = e^Atx(0). (2.30)

Сумма (2.29) и (2.30) представляет собой соответствующее воздействию (2.25) решение уравнения (2.26):

x(t) = e^Atx(0) + (jwI -A)^-1B w_m e^jwt . (2.31)

Первое слагаемое этого решения характеризует переходную погрешность, а второе установившуюся.

При x(0) = 0 получим:

x(t) = (jwI -A)^-1B w_m e^jwt_.

Подставим это в (2.27) и получим для вектора выходных величин:

y(t) = Cx(t) = C(jwI -A)^-1 B w_m e^jwt . (2.32)

Функция, позволяющая определить значения компонент вектора выходных величин по значениям компонент вектора входных величин при разных значениях частоты, называется частотной переходной характеристикой системы. Из (2.32) следует её вид:

H(jw) = C(jwI -A)^-1 B (2.33)

Её можно получить заменой в передаточной функции аргумента p на jw. В рассматриваемом случае она представляет собой матрицу, количество строк в которой совпадает с размерностью вектора y, а количество столбцов - с размерностью вектора w.

Если H(jw) известно и известно входное воздействие, то можно найти выходные величины, используя известные правила перемножения комплексных чисел.

2.4.1.3. Смысл компонент матричной частотной функции (Пример2.4)

Известен элемент h_ik(jw) частотной передаточной функции системы, который связывает i-ый выход с k-м входом системы. Известно также входное воздействие, поданное на k-й вход:

m_k sin( wt + j_k). Найти i-ый выход y_i(t).

Решение: i-ый выход будет равен

y_i(t) = |h_ik(jw)| m_k sin( wt + j_k + φ_ik),

где |h_ik(jw)| - модуль частотной передаточной функции по каналу k  i ,

φ_ik =arg(h_ik(jω)) - аргумент частотной передаточной функции по каналу k  i.