3.2.1.3. Пример определения идеального управления (Пример 3.4)

Пример 3.4. Имеется объект, уравнение (3.16) которого имеет вид: (TD+1)y(t) =u(t). Видно, что в немv(t) = 0. требуется найти идеальное управление, еслиy(0) = 0,₀= 1,r(t) =Ct1(t),C-const,t0.

Вследствие того, что при идеальном управлении выход в точности равен заданному значению по (3.16) получим u(t) = 1(TD + 1)r(t) = 1(TD + 1)Ct1(t) = C(T + t)1(t), t0. Конечно, здесь следует вспомнить, чтоDd/dt.

3.2.1.4. Невозможность реализации идеального управления

Идеальное управление находится достаточно просто. Даже в случае (D)const уравнение (3.18) можно преобразовать по Лапласу и найти соответствующий образU(p)

U(p) = [(p) / (p)] R(p) - [(p) / (p)] V(p) (3.21)

Оригинал u(t)L- образаU(p) и будет управлением, обеспечивающим инвариантность системы. Возникает вопрос, почему на практике такой способ синтеза управления не используется?

Оказывается, что сделанные выше предположения 1) относительно нулевых начальных условий и 2) относительно полной известности модели объекта и входов на практике не выполняются.

Поэтому инвариантное управление (3.18) может оказаться неограниченным и вследствие этого нереализуемым. Влияние неточности модели на состояние объекта при идеальном в смысле (3.18) управлении иллюстрируется следующим примером.

3.2.1.5. Иллюстрация недостатков идеального управления (Пример 3.5)

Пример 3.5. Объект описывается в виде:

(D - 1)y = u(t) + v(t), заданы r(t) = 0, v(t) = C 1(t). Подставляя эти значения в (3.16), получаем

0 = u(t) +v(t),u(t) = -v(t) .

Если С, которое в данном случае характеризует возмущение, известно не точно и его реальное значение C’отличается от предполагаемого и «заложенного» в регулятор (C), то получим:

(D - 1)y = 1(t) - C 1(t) = (- C) 1(t) и выход определится в виде

y(t) = (e^t- 1)(-C) 1(t)

если даже (- C) мала, то все равно при tвыходная величина станет сколь угодно большой.

Отсюда следует, что программное управление весьма чувствительно к неточностям модели объекта и воздействий и приводит к неустойчивости объекта с длительным временем функционирования.

3.3. Стабилизация с помощью обратной связи (Лекция 12)

3.3.1. Введение обратной связи

3.3.1.1. Определение обратной связи в скалярном случае

Программное управление реализует принцип выбора управления (3.12). Если есть возможность наблюдать результат управления , т.е. значения выходной переменной прямо или косвенно, то всегда следует использовать эту информацию для управления и стабилизации системы. Даже исходно неустойчивую систему введением обратной связи можно сделать устойчивой, т.е. стабилизировать.

Пусть система описывается уравнением

(D)y(t) =₀u(t) +(D)v(t), (3.22)

определим управление в виде двух составляющих

u(t) =u_f (t) +u₀(t), (3.23)

где первая составляющая - обратная связь, а вторая какое-либо другое управление.

Определим u_f(t) = -k(D) y(t) (3.24)

где k(D) = k₀+ k₁D + ....+ k_rD^r, (3.25)

т.е. (3.25) предполагает, что мы можем измерять y(t), y’(t), .... , y^{( r )}(t) или вычислить их.

Подставим (3.24) в (3.23), а (3.23) в (3.22)

[(D) +₀k(D)]y(t) =₀u₀(t) +(D)v(t) (3.26)

Отсюда видно, что характеристический полином системы изменился: был (р), стал

(р) = (р) +₀k(p) (3.27)

Пусть ^d(p) - устойчивый полином, выберем^d(p) =(р) +₀k(p), тогда если

k(p) = (^d(p) -(р))/₀(3.28)

то система будет устойчивой. Следовательно, подбирая k(p) можно влиять на свойства системы, например, обеспечивая устойчивость.

Характеристический многочлен всегда можно привести к виду

(p) =pⁿ+_n-1 p^n-1 + ... +₁p +₀.

Пусть желаемый устойчивый полином имеет вид

^d(p) = pⁿ + ^d_n-1 p^n-1 + .... + ^d₁p + ^d₀ .

Выбором коэффициентов ^d_n-1, ... ,^d₀можно задать любое расположение корней на комплексной плоскости. Тогда в соответствии с (3.28) k(p) является многочленом степени

n -1:

k(p) = k_n-1 p^n-1 + .... + k₁p + k₀, (3.29)

где k_i = (^d_i - _i) / ₀ , i = 1, 2, ..., n-1. (3.30)