4.2.2.3. Принцип перехода к многошаговой задаче

Определение многошагового управления осуществляется в соответствии с принципом оптимальности Беллмана. Последовательность определения такова: найденное управление подставляется в критерий и находится его значение. Затем решается двухшаговая задача. Для исключения путаницы обозначим u^*(N-1) уже найденные значения оптимальных управлений.

Критерий для двухшаговой задачи принимается в виде:

Q₂={[x^T(N-1)V₁(N-1)x(N-1)+u^T(N-2)V₂(N-2)u(N-2)] +

+ [x^T(N)V₁(N)x(N) + u^*T(N-1)V₂(N-1) u^* (N-1)]}. (4.27’)

На втором шаге находится управление u(N-2). При этом учитывается, чтоu^*(N-1) уже определено, его выбор не влияет наx(N-1). Значениеx(N-1) может быть определено (оно вычисляется подстановкой управленияu^*(N-1)) в модель системы (4.19). Минимальное значение критерияQ₁уже найдено. Поэтому минимизацияQ₂достигается соответствующим выборомu(N-2). Для их определения достаточно решить задачу

Q₂={[x^T(N-1)V₁(N-1)x(N-1)+u^T(N-2)V₂(N-2)u(N-2)] +Q₁}. (4.27)

Из (4.27) видно, что для определения u(N-2) нужно решить такую же задачу, которая была рассмотрена дляu(N-1), т.к. (4.27) ничем не отличается от (4.23). Процедура определения управлений на всех дальнейших шагах, вплоть доu(0), абсолютно одинакова.

Кроме того, можно показать, что управления на каждом следующем шаге и значения критерия оптимальности выражаются с помощью рекуррентных формул через предыдущие. Это делает процедуру определения оптимального линейного регулятора для многошагового процесса достаточно простой при цифровой реализации.

5. Стохастические системы

5.1. Стохастические процессы (Лекция 16)

5.1.1. Определение и естественные характеристики случайного процесса

5.1.1.1. Определение случайного процесса

Различные внешние возмущающие воздействия, действующие на систему, имеют чаще всего случайный или стохастический характер. Такие воздействия являются стохастическими процессами. Стохастический процесс- это семейство случайных функций времени. Каждая отдельная функция времени называется реализацией процесса.

Пусть ­₁(t),₂(t), …,_n(t) - скалярные стохастические процессы (см. рис.5.1), тогда составленный из них вектор:

V(t) = (v­₁(t), v₂(t), …,v_n(t)) ­^Т (5.1)

представляет собой векторный стохастический процесс. Пусть его компоненты принимают действительные значения для всех t t₀,t₀– задано.

Стохастический процесс может быть определен заданием совместного распределения вероятностей

P (v(t₁) v₁, v(t₂) v₂, …, v(t_m) v_m, ) (5.2)

для всех действительных значений v₁,v₂, …,v_m,t₁ ,t₂ , …,t_m и для любого натуральногоm.

Рис. 5.1. Множество реализаций случайного процесса.

Запись v(t_i)v_i означает

v­_j (t_i)v_ij ,j= 1,2, …,n,i= 1,2,…,m. (5.3)

Функция совместного распределения вероятностей (5.2) известно не всегда, поэтому часто пользуются характеристиками совместного распределения, которые приводятся ниже.

Стохастические процессы могут быть стационарными и нестационарными.

Определение.Стохастический процессV(t) является стационарным, если

P ( v(t₁) v₁, v(t₂) v₂, …, v(t_m) v_m, ) = P ( v(t₁ + ) v₁, v(t₂ + ) v₂, …,

v(t_m +)v_m) (5.4)

выполняется для любых t₁,t₂, ……,t_m ,v₁, … ,v_m, для каждогоmи для всех.

Отсюда следует, что стационарный процесс инвариантен относительно начала отсчета.