5.2.4. Использование полос пропускания при проектировании

5.2.4.1. Скалярный случай

Ниже используются передаточные функции (5.40): T(p) - замкнутой системы от эталонной переменнойr(t) до управляемой переменнойz(t) иN(p) - от эталонной переменнойr(t) на управляющую переменнуюu(t). Выходная переменная, как и раньше,y(t).

Для простоты и наглядности используем скалярный случай. Пусть r,u,y,z- скаляры и вместо весовых матриц просто коэффициентыW_e= 1,W_u = 1. При таких предположениях можно получить следующие выражения для квадрата ошибки слежения и квадрата управляющей величины:

 _r() |T(i) – 1|²df, (5.56)

, (5.57)

где f =/2.

В этих выражениях по два слагаемых. Первое слагаемое характеризует результат влияния установившегося значения эталонной переменной r₀, а второе отражает влияние переменной составляющей эталонного сигнала на квадрат ошибки отработки эталонного сигнала (5.56) и квадрат управляющего воздействия (5.57).

5.2.4.2. Принцип проектирования

Анализ соотношения (5.56) показывает, что установившееся значение квадрата ошибки определяется произведением входного воздействия, характеристики которого R₀и_r() входят в оба слагаемых, и квадрата модуля передаточной функции. Входное воздействие задано. Влиять при разработке системы можно только на передаточную функцию.

Так как цель управления состоит в обеспечении, то отсюда следуетпринцип проектирования минимизации ошибки: чтобы обеспечить малое установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения, передаточную функциюT(p) линейной системы управления с постоянными параметрами следует выбирать таким образом, чтобы выражение

 _r() |T(i) – 1|²(5.58)

принимало малые значения для всех действительных частот. В частности, если заданные точки нулевые, то значение T(0) должно быть близким к 1. Подобная ситуация имеет место в задачах регулирования, в которых переменная часть эталонной переменной _r() = 0 и нужно, чтобыT(0) =1.

Под интегралом (5.56) стоит выражение (5.58). Обычно  _r() имеет существенное значение в области низких частот и убывает с ростом частоты, как показано на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Характерная зависимость амплитуды А (или мощности ) входного сигнала от частоты.

Поэтому для того, чтобы получить малое значение (5.58) необходимо, чтобы |T(i) – 1| было малым в области низких частот, где _r() велико. В связи с этим вводятся понятия полосы частот системы и входного сигнала.

5.2.4.3. Полоса частот системы

Пусть T(p) – скалярная передаточная функция асимптотически устойчивой линейной системы с постоянными параметрами и скалярными управлением и управляемой переменной. Тогда полосой частот системы управления является множество частот,0, для которых

| T(i) – 1 |(5.59)

где - заданное число, малое по сравнению с 1.

Если полоса частот представляет собой интервал [₁,₂], то разность₂ -₁ является полосой пропускания системы.

Если интервал имеет вид [0, _с], то_с называется частотой среза системы (см. рис. 5.5).

Рис. 5.5. Иллюстрация полосы пропускания и частоты среза одномерной системы с постоянными параметрами. Предполагается, что T(j)0 при.

Если ε = 0.01 (1%), то _с называется однопроцентной частотой среза.