2.3.1.2. Оператор Лапласа

Другое операторное преобразование, часто используемое в теории управления (и вообще, при исследовании дифференциальных уравнений) уже обеспечивает изменение пространства представления функции. Преобразование Лапласа

(2.21)

ставит в соответствие каждой однозначной функции f(t) действительного переменного t единственную функцию F(p) комплексной переменной р= σ + jω, т.е. этим преобразованием функция действительного переменного отображается на комплексную плоскость. При этом F(p) = L[f(t)] - называется изображением или образом, а f(t) – прообразом или оригиналом.

Таким образом, преобразование Лапласа позволяет перейти из временной области в область комплексного оператора р.

Ценность преобразования Лапласа в том, что при нулевых начальных условиях достаточно просто связаны между собой функция, её производная и её интеграл по времени, т.е. при f(0) = 0 имеем

L[] =F(p), то L[] =pF(p)

и т.п.

L[Dⁿf(t)] = pⁿF(p), n³ 0.

Применение преобразования Лапласа к левой части (2.20) дает:

L[а(D)х(t)] = а(p)L[х(t)] = A(p) Х(p), (2.22)

где Х(p) – обозначено преобразование Лапласа x(t).

2.3.2. Передаточная функция и резольвента

2.3.2.1. Фундаментальная матрица (резольвента)

Рассмотрим стационарную линейную систему вида (1.11):

. (а)

Преобразуем по Лапласу элементы этого векторно-матричного уравнения. В результате, обозначая результат преобразования функций прописными буквами, получим

pX(p) -x(0) = AX(p) + BW(p).

Далее, приведя подобные и учитывая, что X(p) и W(p) векторы, уравнение принимает вид:

(pI - A)X(p) = x(0) + BW(p).

Умножив левую и правую части на матрицу, обратную (pI - A), находим решение для образа вектора состояний X(p):

.

Матрица (pI -A)^-1 = Ф(p), с помощью которой образ состояний выражается через начальные условия и входы называется фундаментальной матрицей или резольвентой системы.

В пп. 2.2.2.1. было показано, что решение уравнения состояний (а) для стационарной системы имеет вид x(t) = e^{A t}x(0). Можно показать, что резольвента есть преобразование Лапласа матричной экспоненты, т.е. L[e^{A t}] = (pI - A)^-1.

2.3.2.2. Матричная передаточная функция

Уравнение y(t)=Cx(t) для выходных величин преобразованием Лапласа приводится к виду Y(p) = CX(p). Подставив в него X(p), получаем образ вектора выходных величин:

Y(p) = C(pI - A)^-1x(0) +C(pI - A)^-1BW(p). (2.23)

Во многих задачах теории управления важно знать соотношение между входными и выходными величинами. Оно получается из (2.23), если начальные условия принять нулевыми, т.е. x(0) = 0. В этом случае имеем

Y(p) = C(pI - A)^-1BW(p) = H(p) W(p) или

H(p) = Y(p) / W(p). (2.24)

Функция комплексного переменного H(p), равная отношению изображений по Лапласу выхода Y(p) ко входу W(p) системы называется передаточной функцией системы.

Из (2.23), (2.24) следует, что она равна:

H(p) = = C(pI - A)^-1B,

т.е. она выражается через резольвенту и матрицы В и С исходного описания. Резольвента существует для системы, в которой входные и выходные величины векторные. Если они скаляры, то получается скалярная передаточная функция.