5.2.2.2. Реакция линейных дифференциальных систем на белый шум

Белый шум.Скалярный стохастический процесс некоррелированный даже при малых (t₂ – t₁) называется процессом белого шума. Более строго он определяется следующим образом:

при , (5.48)

где ε – «малое» число. В идеальном случае

(5.49)

где

V(t)– интенсивность процесса приt.

Определение. Векторный стохастический процесс ω(t)cнулевым средним и ковариационной матрицей (5.49) является стохастическим процессом типа белого шума интенсивностиV(t). ЕслиV(t)=V– процесс является стационарным в широком смысле, то матрица спектральных плотностей имеет вид:

. (5.50)

Отсюда видно, что стационарный в широком смысле белый шум имеет равную на всех частотах плотность энергии. Отсюда название по аналогии с белым светом. Понятно, что интеграл (5.43) от константы (V> 0) в пределах от -∞ до +∞ дает бесконечную величину. Это указывает, что в природе нет белого шума. Но подобная идеализация бывает полезна при моделировании слабо коррелированных широкочастотных воздействий – шумов.

5.2.2.3. Пример дифференциальной системы, возбуждаемой белым шумом(Пример 5.2)

Рассмотрим дифференциальную систему первого порядка, возбуждаемую белым шумом. Пусть система описывается уравнением:

, (П52.1)

где ω(t) – скалярный белый шум интенсивности μ с ковариационной функцией:

(П52.2)

(t) - скалярная стохастическая величинаcнулевым математическим ожиданием (E[₀] = 0) и заданной дисперсией (E[²₀] =²).

Уравнение (П52.1) неоднородное его решение может быть получено следующим образом:

(*)

(***)

Из (П20.2) следует . Тогда, принимая, чтоt₁ < t₂, интегрировать нужно доt₁и из (***) далее следует:

(П52.3)

Дисперсия определяется для t₁=t₂=t; поэтому получаем:

Q(t)=. (П52.4)

5.2.2.4. Моделирование стохастических процессов.

Часто в качестве модели стохастического процесса используется линейная дифференциальная система, возбуждающаяся белым шумом. Выход такой модели описывается уравнением:

S(t)=C(t)x(t), (5.51)

где x(t)моделирует состояние объекта, которое в свою очередь описывается моделью:

, (5.52)

где - входной процесс, являющийся белым шумом.

Использование такой модели обосновывается тем, что:

а) стохастические явления, встречающиеся в природе, часто связаны с воздействиями типа быстро меняющихся флуктуаций на инерционную систему. Такие воздействия – достаточно хорошо моделируются белым шумом, а инерционность системы – дифференциальным уравнением

б) для линейной системы достаточно знать среднее значение и ковариационную функцию (матрицу). Именно эти характеристики могут быть определены экспериментально с достаточной для практики точностью.

5.2.2.5. Моделирование стационарного процесса уравнением 1-го порядка (Пример 5.3)

В результате экспериментальных исследований получено, что ковариационная функция стохастического скалярного процесса описывается экспоненциальной функцией:

, (П53.1)

и процесс стационарен.

Покажем, что для такой процесс адекватно моделируется состоянием дифференциальной системы первого порядка, на вход которой подается стохастический процесс типа белого шума:

, (П53.2)

где – белый шум интенсивностью, а– стохастическая величина с нулевым средним и дисперсией.

В этом можно убедиться, если в выражение (П52.3) подставить . Получим:

;

т.к. , то.