5.1.2.2. Спектральная плотность

В (5.13) на малый интервал частот [,+d] приходится слагаемое. Сравнивая его с (5.11), можно видеть, чтопредставляет амплитуду колебаний, соответствующую заданному интервалу частот. Таким образом,можно рассматривать как плотность амплитуды, соответствующей заданному интервалу частот, поэтомуназываютспектральной плотностью функцииf(t).

Используя представление комплексной функции с помощью двух вещественных функций, т.е.

и тригонометрическое представление экспоненты, можно получить следующее представление вещественной функции f(t):

. (5.14)

5.1.2.3. Физический смысл гармонического анализа случайного процесса

Вспомним простые факты из теории колебаний. Пусть имеется колебательный контур – осциллятор с малым сопротивлением (слабым затуханием). Если он испытывает гармоническое внешнее воздействие с частотой , то в нём возбуждаются гармонические вынужденные колебания с той же частотой. Амплитуда этих колебаний тем больше, чем ближек₀- собственной частоте колебаний осциллятора. Эта избирательность осциллятора выражена тем сильнее, чем меньше затухание. В предельном случае, когда затухание отсутствует вовсе, при=₀ наступает явление резонанса, при котором амплитуда растёт неограниченно.

Если гармонический внешний сигнал подводится к системе осцилляторов с разными собственными частотами, то на сигнал отзовётся из них тот, у которого собственная частота ₀ближе к частоте воздействия.

Если на такую систему воздействует смесь гармоник, т.е. воздействие вида (5.11), то на них отзовутся те осцилляторы, у которых собственные частоты совпадают с какой-либо из внешних частот _к . При этом амплитуда вынужденных колебаний осциллятора с собственной частотой_0кбудет пропорциональна амплитудеа_квнешнего воздействия на этой частоте.

Аналогичная картина получается при наложении непрерывного воздействия (5.13). Отсюда следует, что система осцилляторов позволяет осуществлять гармонический или спектральный анализ внешнего воздействия. Формулы (5.13), (5.14) позволяют по спектральной плотности восстановить функцию f(t).

5.1.2.4. Взаимосвязь функций времени и их спектрального представления

Операция вычисления спектральной плотности для любой функции f(t), конечной приtосуществляется по формуле:

. (5.15)

Ограниченность функции f(t) необходима для того, чтобы интеграл (5.15) имел смысл.

Функция спектральной плотности может быть вычислена отдельно для действительной и мнимой частей по формулам:

(5.16)

при этом, как и раньше, .

Формулы (5.13) и (5.15) называются формулами преобразования Фурье. По ним возможно перейти от любой, конечной при t, функцииf(t) к её спектральной плотностиF() и обратно, восстановить функцию по спектральной плотности. Формулы (5.14) и (5.16) являются их аналогом, использующим тригонометрическое представление.

5.1.2.5. Матрица спектральных плотностей энергии

Определение.Матрица спектральной плотности энергии _v() векторного стохастического стационарного в широком смысле процесса, определяется как преобразование Фурье ковариационной матрицыR _v(t₁–t₂) процесса, т.е.

(5.17)

где =t₁–t₂.

Матрица спектральной плотности  _v() является комплексной матрицей, имеющей свойства:

а)  _v(-) = _v^(), (5.18)

б)  _v^() = _v(), (5.19)

в)  _v()0. (5.20)

 - обозначает комплексно-сопряженное транспонирование.