2.4.1.4. Виды используемых частотных характеристик

Так как частотная передаточная функция - комплексная характеристика, то ее можно представить в алгебраической или показательной форме. В первом случае она представляется в виде суммы мнимой и действительной части, поэтому можно получить две характеристики:

Вещественная частотная характеристика:

ВЧХ: R(w ) = Re H( jw ). (2.34)

Мнимая частотная характеристика:

МЧХ: I(w ) = Im H(jw ). (2.35)

В показательной форме имеется модуль и аргумент, которые в теории автоматического управления именуются соответственно амплитудой и фазой.

Таким образом, получаем ещё две характеристики:

Амплитудная частотная характеристика:

АЧХ: A(w) = | H(jw )|. (2.36)

Фазовая частотная характеристика:

ФЧХ: y( w) = arg H(jw ) . (2.37)

2.4.1.5. Пример вычисления характеристик (Пример2.5)

Пример 2.5. Дана система

T + x = kw,

y = x.

Определить H(jω), ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ.

Решение: Используя преобразование Лапласа, получаем

XpT + X = kW,

X(pT + 1) = kW,

X = [k / (pT + 1)]W,

Y = X = [k / (pT + 1)]W,

H(p) = Y/W= k / (pT + 1).

Заменяя p на jw, получаем:

.

Таким образом в данном случае имеем:

R(ω)= ,

I(ω)= .

A(ω)=,

y(w) = arctg I (w )/R(w ) = arctg (- wT).

2.4.2. Логарифмические частотные характеристики

2.4.2.1. Смысл логарифмических частотных характеристик

Часто используют логарифмический масштаб. Для АЧХ по оси абсцисс откладывается lg ω, а по оси ординат lg A(ω) и для ФЧХ lg ω и ψ (ω). Такие характеристики называются логарифмическими частотными характеристиками. Величина lg A(ω) характеризует усиление амплитуды колебаний данной системой. За единицу усиления принимают такое усиление, при котором мощность сигнала увеличивается в 10 раз. Эта единица называется белом. Так что если система увеличивает сигнал в 100 раз – усиление 2 бела, в 1000 раз – 3 бела и т.д.

Используются большие единицы декабелы, гектобелы и более мелкие децибелы, сантибелы и т.д. В автоматике приняты децибелы (дБ). Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды (например мощность электротока пропорциональна квадрату силы тока), то при усилении амплитуды 1 бел величина lg|H(jω)|­­­²=2lg|H(jω)| равна единице, при усилении 2 бела величина 2lg|H(jω)| равна двум и т.д. Поэтому усиление амплитуды колебаний данной системой, выраженное в белах равно 2lg|H(jω)|, а в децибелах 20lg|H(jω)|. Поэтому при построении ЛАЧХ по оси ординат откладывают непосредственно 20lgA(ω), который выражает усиление в децибелах. Изменение частоты в 2 раза называется изменением на октаву, в 10 раз – изменением на декаду.

2.4.2.2. Определение логарифмических частотных характеристик

Логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ) соответствующей передаточной функции Н(р) называется функция

L (q) = 20lg |H(jw )| , (2.38)

определенная для любых вещественных значений q = lg w.

Наклоном ЛАХ называется функция dL/dq. Принято измерять значение ЛАХ в децибелах (дБ), а наклон в дБ/декаду.

Логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ) называется функция

y(q) = Arg H(jw) (2.39)

Особенно просто строятся логарифмические характеристики для передаточных функций. с вещественными нулями и полюсами. Передаточная функция такого типа представима в виде

H(p) = k pⁿ [П_n (T’_n p + 1)/ П_m (T_m p + 1)] (2.40)

где T’_n ,T_m - положительные постоянные времени. Пусть к - положительно, тогда ЛАХ и ЛФХ:

L (q) = 20lg k + 20 nq+ å_n 20lg | (T’_n w)² + 1 | ^1/2 - å_m20lg | (T_mw)² +1|^1/2 (2.41)

Ф(q) = n p/2 + å_n Arctg wT’_n - å_m Arctg wT_m (2.42)