2.4.2.3. Асимптотические логарифмические частотные характеристики

Формулы (2.41), (2.42) достаточно сложны, но анализ показывает возможность их приближенного использования, учитывая близость к ломаной. Действительно, один член из (2.41) L (q) =20lg | (T_mw)²+1|^1/2 при различных отношениях частоты и постоянных времени может быть представлен разными значениями:

при w<<1/T, Tw<1, (Tw)²<<1 и L(θ)@0,

при w>1/T, Tw>1, (Tw)²>>1 и L(θ)@20lg (T_mw).

Отсюда определение: асимптотической ЛАХ , соответствующей Н(р) вида (2.40), называется кусочно-линейная функция, получаемая заменой (2.41) асимптотическими ломаными вида:

(2.43)

где w =1/T - сопрягающая частота, w<1/T- низкочастотная асимптота, w>1/T - высокочастотная асимптота.

Асимптотическая ЛФХ есть кусочно-постоянная функция, получающаяся из (2.42) заменой

(2.44)

Замечательное свойство асимптотических характеристик в том, что они строятся практически без вычислений по следующему алгоритму:

1) Строится низкочастотная асимптота L_нч(q) = 20lg k + 20 nq

Упорядочиваются все постоянные времени (частоты)

T₁ > T₂ > ..... > T_n , w₁ = 1/T₁ < w₂ = 1/T₂ < .....< w_n =1/T_n

3) Положить L^ас(q) = L_нч(q) вплоть до w₁

4) Если Т₁принадлежит числителю, то начиная с w=w₁проводится прямая с наклоном на

20 дБ/дек больше, если знаменателю, то меньше;

5) Продолжаем до w₂и переходим на п.4.

2.4.2.4. Иллюстрация построения асимптотических характеристик (Пример 2.6)

Пример П.2.6.: Определить асимптотические логарифмические характеристики, если передаточная функция имеет вид

Н(р) = k/p[(T₂p + 1)/(T₁p + 1)(T₃ p + 1)], T₁ > T₂ >T₃

Рис.2.3. Асимптотические амплитудная а) и фазовая б) логарифмические частотные характеристики.

2.5. Структурные схемы систем (Лекция 7)

2.5.1. Схемы соединения звеньев

2.5.1.1. Представление звеньев и связей в виде структурных схем

Структурные схемы дают наглядное, графическое представление структуры объекта или системы. В них отдельные звенья (подсистемы) изображаются прямоугольниками, в которых могут указываться передаточные функции. Соединения звеньев отражаются стрелками одинарными для скалярных и двойными для векторных величин.

а)

б)

Рис.2.4. Представление звена: а – скалярный вход – выход, б – векторный вход – выход.

В операторном виде с учетом (2.20) уравнения системы можно записать в виде

A(p) X(p) = B(p) W(p) (2.45)

Y(p) = C(p) X(p) (2.46)

где X(p) - изображение по Лапласу переменной состояния,W(p) - входной иY(p) - выходной переменных.

A(p) @ a_n pⁿ + a_n-1p^n-1 + .... + a₁p + a₀- многочлен от переменной р,

B(p),C(p) - аналогичные многочлены; (2.45) есть результат преобразования по Лапласу (2.17).

Из (2.45),(2.46) получаем

Y(p) = [C(p)B(p) /A(p)]W(p) (2.47)

Y(p) = H(p) W(p), H(p) = C(p) B(p) / A(p) (2.48)

Пусть система состоит из i = 1,2,...,n звеньев (подсистем)

Y_i(p) = H_i(p) W_i(p), i =1,2,...,n. (2.49)

Связи между ними задаются в виде:

W_i(p) = ,(2.50)

где, W_i^' - внешние связи.

Для состояний уравнения получаются непосредственно из (2.45) Все состояния, обозначенные X_i(p),i= 1,2,...,nобразуют вектор состояний системы. Выходы, не являющиеся входами других элементов данной системы, есть выходы системы. Входы элементов системы, не являющиеся выходами других элементов этой системы являются внешними входами. Входы и выходы могут быть как векторными, так и скалярными.

В общем случае система состоит из множества элементов, соединенных между собой. Для анализа целесообразно эти элементы выделить в качестве отдельных звеньев, а потом объединить в одну систему. При всем кажущемся разнообразии соединений, фактически имеют место только 3 возможные схемы соединения элементов или звеньев. Ниже они рассматриваются для случая, когда число элементов равно 2.