2.1.1.2. Линеаризация модели

Следующий, часто применяемый прием состоит в линеаризации нелинейной модели. Используются различные способы линеаризации. Рассмотрим один наиболее часто употребляемый и простой. Он базируется на использовании известного разложения функций в ряд Тейлора. Обычно заранее можно оценить в каком диапазоне будут изменяться входные величины, состояния и выходы объекта. Если диапазон широк, то его можно разбить на несколько более узких так, чтобы сохранить требуемую точность. Независимо от количества интервалов техника сохраняется и состоит в следующем. Возьмем некоторую точку, называемую рабочей, внутри интервала. Обозначим ее индексом 0, т.е. x₀,w₀. Т.к. (2.1) известно, то можно вычислить и .

Разложим (2.1) в ряд Тейлора в точке . Получим

(2.2)

где s=1,2…,c – это номер интервала стационарности (2.1) модели, x, -n-мерные векторы; j=1,2,…,n – номер в векторе,k=1,2,…,n – номер в вектореx, l=1,2,…,L – номер компонента в вектореw.

.

Теперь если , (это матрицы частных производных, которые представляют собой якобианы), тогда каждому интервалу времени будут соответствовать свои .

Обозначим ,.

Учитывая новые обозначения, перепишем (2.2) и получим линейный аналог или линейное приближение (2.1): .(2.3)

Видно, что (2.3) соответствует (1.11).

2.1.2. Пример построения модели объекта

2.1.2.1. Характеристика объекта

Построение модели проиллюстрируем на примере смесительного бака (Пример 2.1).

Смесительный бак предназначен для приготовления и автоматического поддержания заданной концентрации раствора из двух жидкостей (рис.2.1). Смешиваемые растворы с концентрациями иподаются в бак по двум трубопроводам. Скорость подачи растворов регулируется при помощи двух задвижек с электрическим приводом, обозначенных на рисунке пятиугольниками. Смесь, имеющая концентрацию, выходит из бака по специальной трубе. Площадь основания бакаSизвестна, высота столба смеси в бакеизмеряется. Требуется построить математическую модель данного объекта и найти его характеристики.

На рис.2.1 используются следующие обозначения:

F₁(t),F₂(t) - регулируемые расходы подаваемых в бак жидкостей, их изменением достигается управление концентрацией жидкости в баке; С₁, С₂– концентрации, величины постоянные (константы);V(t), С(t) – объем и концентрация раствора в баке,F(t) расход смеси в выходной трубе.

Рис. 2.1. Смесительный бак

2.1.2.2. Разработка математической модели

В рассматриваемой задаче константами (параметрами) являются концентрации С₁, С₂и площадь бакаS. Все остальные величины:F₁(t),F₂(t),F(t),V(t), С(t) - являются переменными. Разработка модели сводится к определению математических выражений, связывающих изменение во времени всех этих величин между собой.

Изменение объема жидкости в баке определяется уравнением баланса масс:

.(П1.1)

Изменение количества растворенного вещества описывается аналогичным уравнением:

= c₁F₁(t) + c₂F₂(t) -c(t)F(t). (П1.2)

Количество переменных в этих уравнениях превышает их число, но можно заметить, что скорость истечения жидкости из бака (расход F(t)) зависит от высоты её уровня. Поэтому можем записать:

F(t) =,(П1.3)

где К- коэффициент пропорциональности, и далее, используя площадь бакаS:

. (П1.4)

Подставив (П1.4) в (П1.1) и (П1.2), получим

, (П1.5)

. (П1.6)

Полученные уравнения отражают зависимость текущего объема V(t) и концентрации смесиC(t) в баке от объемов, подаваемых по входным трубам. Нетрудно видеть, что уравнения получились нелинейными. Линейность позволила бы применить стандартные результаты решения линейных дифференциальных уравнений.