5.2.4.4. Полоса частот эталонного процесса

Пусть r(t) скалярный стационарный в широком смысле стохастический процесс со спектральной плотностью_r() . Полоса частот(см. рис.5.6) процессаr(t) определяется как множество частот,0, для которых

 _r ()(5.60)

Рис. 5.6. Иллюстрация определения полосы частот, полосы пропускания и частоты среза скалярного стохастического процесса r

Значение выбирается так, чтобы полоса частот содержала заданную часть 1 -(1) половины энергии процесса, т.е.

(5.61)

Если полоса представляет собой интервал [₁,₂], то разность₂ -₁ является полосой пропускания процесса. Если интервал имеет вид [0,_с], то_с называется частотой среза процесса. При= 0.01 говорят об 1частоте среза. При этом [0,_с] – низкочастотная часть процесса, которая содержит 99% от половины энергии процесса (спектра).

5.2.4.5. Реализация принципа проектирования( минимизация ошибки)

Введенные понятия полос частот системы (5.59) и входного процесса (5.60) позволяют заключить, что реализации принципа проектирования может интерпретироваться следующим образом: для получения малого значения ошибки слежения (5.56) необходимо, чтобы полоса частот системы управления содержала как можно большую часть полосы пропускания эталонной переменной. Рис. 5.7 иллюстрирует сказанное.

Рис. 5.7. Взаимодействие полос пропускания системы и сигнала, 1 – полоса пропускания системы, 2 – полоса пропускания входного процесса (эталонной переменной), 3 – диапазон частот эталонной переменной, не перекрываемый полосой пропускания системы.

При проектировании следует добиваться, чтобы полоса частот системы полностью перекрывала полосу частот эталонной переменной. Рис. 5.7. иллюстрирует принцип проектирования, обеспечивающий минимальное отклонение выходной величины. Интервал 3 приносит наибольший вклад в среднее значение квадрата ошибки слежения и чем он больше, тем больше будет и ошибка слежения.

5.2.4.6. Реализация принципа проектирования ( минимизация входной переменной)

Входная переменная (мощность управления) должна быть ограниченной и, желательно, минимальной. Это требование отражено в следующем принципе проектирования:

в асимптотически устойчивой линейной системе с постоянными параметрами со скалярным входом и выходом для получения малого установившегося среднего значения квадрата входной переменной необходимо, чтобы

(5.62)

принимало малые значения для всех действительных значений . Для этого необходимо делать |N(i)| малым в полосе частот эталонной переменной.

Из сопоставления принципов проектирования видно, что удовлетворить их каждый по отдельности не сложно. Достаточно изменять нужным образом передаточные матрицы Т(р) или N(p). Но так как они связаны соотношением (5.41) Т(р) = К(р)N(р), то изменять их независимо нельзя и нужен компромисс, найти который и должен проектировщик системы.

5.2.4.7. Оценка длительности переходных процессов

Установившиеся ошибка или состояние системы достигаются после некоторого переходного процесса, в котором значения ошибки могут быть существенно больше установившегося значения. Поэтому длительность переходных процессов желательно уменьшать.

Временем установления определенного процесса (среднего значения квадрата ошибки, например) называется время, в течение которого переменная достигает установившегося значения в пределах заданной точности. Если точность 1% от максимального отклонения от установившегося значения, то говорят об 1% времени установления. В начальный момент ошибка может быть большой.

Отсюда принцип проектирования: система должна быть спроектирована так, чтобы время установления среднего значения квадрата ошибки слежения было по возможности малым.

В соответствии с (5.56) среднее значение квадрата ошибки слежения состоит из двух частей. Одна обусловлена переменной составляющей эталонной переменной, а другая - постоянной. Поведение составляющей от переменной части оценивается дисперсией, которая находится трудоёмким решением матричного дифференциального уравнения.

Анализ поведения в переходном процессе составляющей от постоянной части эталонной переменной проще. Его можно выполнить, анализируя переход системы из ненулевых начальных условий и реакцию на ступенчатое входное воздействие эталонной переменной. Для асимптотически устойчивой линейной системы с постоянными параметрами некоторую информацию можно получить из расположения на плоскости полюсов замкнутой системы.

Реакция такой системы представляет собой сумму экспоненциально демпфированных движений с постоянными времени, равными отрицательным обратным величинам действительных частей характеристических чисел замкнутой системы. Поскольку 1%-е время установления экспоненциального процесса эталонной переменной

(5.63)

равно 4,6, граница для 1%-го времени установленияt_sкакой-либо переменной определяется формулой:

(5.64)

где _i,i= 1,2, …,n- характеристические числа системы. Заметим, что для квадрата переменной время установления равно половине времени, необходимого для самой переменной.