1.2.1.2. Способы классификации моделей (объектов)

1) По виду сигналов: непрерывные, дискретные, импульсные. Общий вид модели - дифференциальные и разностные уравнения.

2) По определенности поведения объекта: детерминированные и стохастические. Общий вид модели - математические уравнения различного рода и вероятностные характеристики: среднее значение, квадрат среднего значения, дисперсия, корреляционная и взаимно-корреляционная функции.

3) По виду множеств входов и выходов: если значения располагаются в одной точке - сосредоточенные, а если распределены в некоторой области – распределенные. Общий вид модели - обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных.

4) По тому, в какой степени входят в уравнения переменные и их производные модели делятся на линейные и нелинейные ( у = Ах, у =f(х))

5) В зависимости от постоянства параметров: стационарные и нестационарные (у = f(х), у = f(х,t)).

При моделировании следует стремиться к рациональному уровню соответствия между моделью и ее прототипом (объектом).

Модель имеет две стороны: содержательную и формально-математическую. Абсолютно точную модель создать нельзя, поэтому она должна отражать существенные стороны объекта и одновременно, по возможности, быть простой.

1.2.1.3. Некоторые виды математических моделей

Начнем с конца и запишем достаточно общее выражение модели объекта

(1.5)

где x- вектор состояний,w- вектор входных воздействий,f- вектор-функция.

Модель вида (1.5) описывает непрерывную, многомерную, нестационарную, нелинейную, детерминированную (если вектор w детерминированный) систему.

Детерминированность означает одновременную определённость всех величин.

x(k+1) =f(x(k),w(k),k) (1.6)

- описывает дискретную многомерную, нестационарную, нелинейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

(1.7)

- описывает непрерывную многомерную, стационарную, нелинейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

x(k+1) =f(x(k),w(k)) (1.8)

- описывает дискретную многомерную, стационарную, нелинейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

(1.9)

- описывает непрерывную многомерную, нестационарную, линейную, детерминированную (если w – детерминированный вектор) систему.

x(k+1) =A(k)x(k) +B(k)w(k), (1.10)

- описывает дискретную многомерную, нестационарную, линейную, детерминированную (если w – детерминированный вектор) систему.

(1.11)

- описывает непрерывную многомерную, стационарную, линейную, детерминированную (если w - детерминированный вектор) систему.

x(k+1) =Ax(k) +Bw(k), (1.12)

- описывает дискретную многомерную, стационарную, линейную, детерминированную (если w – детерминированный вектор) систему.

В случае, когда w(k) является стохастическим векторным процессом, для него используются следующие характеристики:

- вектор средних значений:

m(k) = E {w(k)} (1.13)

E– оператор взятия математического ожидания.

- ковариационная матрица:

R_w(k₁,k₂) =E{[w(k₁) -m(k₁)][w(k₂) -m(k₂)]^T} (1.14)

R_w(k,k) = Q(k) - матрица дисперсий

- матрица смешанных моментов второго порядка:

C_w(k₁,k₂) = E {w(k₁),w^T(k₂)} (1.15)

C_w(k,k) = Q’(k) матрица моментов второго порядка

В таких же терминах получают выходные величины, которыми мы управляем. Целью управления является достижение определенных, чаще минимальных значений дисперсий, ковариаций.