5.1.2.6. Пример определения функции спектральной плотности по ковариационной функции (Пример 5.1)

Рассмотрим скалярный процесс ν(t) с ковариационной функцией

R_ν(τ) = σ²exp(-|τ|/θ), (П.17.1)

где σ²– дисперсия процесса,θ– постоянная времени.

(П.17.1) описывает экспоненциально коррелированный шум, которым могут моделироваться многие, встречающиеся на практике процессы. Определение функции спектральной плотности осуществляется по формуле (5.17)

Интегрируется по частям, b=-1/θ.

, ,,,

, ,,

В результате, с учетом b=-1/θ, получается функция спектральных плотностей.

5.2. Задачи слежения (Лекция 17)

5.2.1. Характеристики качества следящих систем.

5.2.1.1. Описание разомкнутой следящей системы

Пусть объект описывается линейным уравнением с постоянными параметрами:

, . (5.21)

Отдельно может быть описана наблюдаемая переменная, которая выражается через состояние:

. (5.22)

Управляемая переменная в общем случае может не совпадать с наблюдаемой переменной и также выражаться через состояние:

. (5.23)

В уравнениях (5.21) – (5.23) v_p(t) – вектор возмущений, действующий на объект, v_m(t) – ошибки измерения.

Задача следящей системы состоит в обеспечении равенства значения управляемой переменной значению эталонной переменной. Эталонная переменная, значение которой требуется отслеживать, представляет собой стохастический процесс той же размерности, что и.

Регулятор является динамической системой, которая описывается подобно объекту:

, ; (5.24)

. (5.25)

–вектор состояний регулятора, – вектор входных переменных регулятора (эталонная переменная),– вектор возмущающих воздействий регулятора (наблюдаемая переменная объекта), – выход регулятора, который одновременно является входом объекта.

5.2.1.2. Описание замкнутой следящей системы.

Уравнения (5.21)-(5.23) описывают объект отдельно от регулятора (5.24)-(5.25). Чтобы получить описание замкнутой системы объект-регулятор необходимо исключить векторы u(t), y(t) из правых частей (5.21)-(5.25).

Так, подставив (5.22.) в (5.25), получаем:

.

Исключив u(t) из (5.21) и y(t) из (5.24), можно получить для объединенного вектора состояний системы, включающего состояния и объекта и регулятора, следующую систему уравнений:

. (5.26)

В векторно-матричной форме она приобретает вид:

, (5.27)

где (x^T(t), q^T(t)) – расширенный вектор состояний, r(t) – эталонное (задающее) входное воздействие, (v_m(t), v_p(t)) – вектор возмущающих воздействий.

Структурная схема замкнутой системы показана на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Замкнутая следящая система

В дальнейшем потребуются значения управляемой переменной и управления, которые выражаются из описания замкнутой системы в следующем виде:

, (5.28)

. (5.29)

5.2.1.2. Интегральные характеристики качества регулирования

В системах слежения в отличие от систем стабилизации заданное значение управляемой переменной является не постоянной, а переменной случайной величиной, для характеристики которой могут быть использованы приведенные в начале (пп. 5.1.1.1) статистические величины. Для характеристики качества функционирования систем слежения используют среднее значение квадрата ошибки слежения C_e(t) и среднее значение квадрата управляющей переменнойC _u(t), которые определяются так:

(5.30)

(5.31)

где - ошибка (5.32)

и u(t) – векторы соответствующей размерности,r(t) – заданное значение эталонной величины,Е– обозначает операцию взятия математического ожидания, W_e(t),W_u(t),tt₀– неотрицательно определённые весовые матрицы, которые задают приоритеты компонент векторовeиuпо отношению друг к другу.

Выражение для управления было получено (5.29), а выражение для ошибки получается в результате подстановки (5.28) в (5.32):

. (5.33)

Подставив (5.33) и (5.29) в (5.30) и (5.31), получим выражения для средних значений квадратов управляющей переменной C _u(t) и ошибки слежения C_e(t), которые характеризуют качество управления.