5.1.1.2. Характеристики случайного процесса

Определение.ПустьV(t) – векторный случайный процесс. Тогда:

m(t) =E[v(t) ] - вектор средних значений процесса; (5.5)

R_v(t₁ ,t₂) =E{[v(t₁) -m(t₁)] [v(t₂) -m(t₂)]^T} - (5.6)

ковариационнаяматрица процесса;

C_v(t₁,t₂) =E[v(t₁)v ^T(t₂)] (5.7)

матрица смешанных моментоввторого порядка;

R _v (t ,t) =Q(t) (5.8)

матрица дисперсийи

C _v (t ,t) =Q'(t) (5.9)

матрица моментов второгопорядка.

Из (5.6) и (5.7) видно, что если m(t) = 0, тоR_v(t₁ ,t₂) =C_v(t₁,t₂).

Следует иметь в виду, что здесь фигурируют матрицы и векторы. Поэтому развернутая запись, например, матрицы (5.7) C_v(t₁,t₂) имеет вид:

C_v(t₁,t₂) =E .

Можно доказать, что R_v(t₁ ,t₂) иC_v(t₁,t₂) имеют следующие свойства:

а) R_v (t₂ ,t₁) =R^T_v (t₁ ,t₂) для любыхt ₁,t _{2 ;}

C_v(t₂,t₁) =C^T_v(t₁,t₂) для любыхt ₁,t _{2 ;}

б) Q(t) =R_v (t,t)0t;

Q' (t) =C_v (t ,t)0t;

в) C_v(t₁,t₂) =R_v (t₁ ,t₂) +m(t₁)m^T(t₂) для любыхt ₁,t ₂ .

Если v(t) - стационарный стохастический процесс, то его среднее значение постоянно, а ковариационная матрица зависит только от сдвига аргументов (t₁–t₂) . Стохастический процессv(t) является стационарным в широком смысле, если его матрица моментов второго порядкаC_v (t,t) конечна для всех значений времениt.

5.1.2. Спектральное представление случайного процесса

5.1.2.1. Спектр функции

Преобразование Лапласа осуществляется с помощью функции e^pt, где

р = i- комплексная переменная. В задачах управленияt– время, которое принимает значения от -до +. Величины, получающиеся при решении задач управления должны быть конечными и приt

Так как e ^pt = e ^t e ^it = e ^t (cos t + i sin t) и |cos t + i sin t| = 1,

то при 0 получаем |e^pt|приt, а при0 имеем |e^pt|-приt-. Поэтому, чтобы экспонента была ограниченной необходимо иметь0, т.е. чтобы использовались только «гармоники»

e ^it = cos t + i sin t (5.10)

Суммы гармоник с различными значениями амплитуды на разных частотах:

f(t) =a_ke^{i }_k ^t (5.11)

позволяют получать более сложные функции времени.

Набор частот _kв (5.11) называется спектром функцииf(t). Используя (5.10) и

формулы Эйлера:

cos t = (e ^it + e ^{– i t})/ 2, sin t = (e ^it - e ^{– i t})/ 2 i (5.12)

можно переходить от экспонент к косинусам и синусам и наоборот.

Формула (5.11) дает дискретный спектр, т.к. _k - дискретные значения частот,а_к– соответствующие им амплитуды. Если вместо дискретных использовать непрерывные значения частоты, т.е. функциюF(), то получится непрерывный спектр разложения функцииf(t):

f(t) =F()e^itd, (5.13)

в котором частота может занимать всю действительную ось или любую её часть.