3.1.2.2. Свойства корневого годографа
Свойства корневого годографа используются для его построения и для анализа системы.
1). Число корней многочлена (3.6) равно n. Каждый из них имеет свой непрерывный годограф при измененииот -до.
2). Начало годографа при = 0 в полюсахi,i=1,2,...,n. Это следует из того, что= 0 корни (3.6 ) являются корнями(р).
3). Поведение годографа. При mгодографов стремятся к нулямi, i = 1,2,...,m. Остальныеn - mгодографов стремятся к бесконечности, т.к. корни (3.6) являются корнями и
-1(р) +(р).
4). n - mгодографов, стремящихся к бесконечности, асимптотически приближаются кn - mпрямым, которые составляют углы
(+k2)/ (n - m),k= 0, 1, ..,n -m- 1, (3.8)
c положительной действительной осью при и углы
k2/ (n - m),k= 0, 1, ..,n -m- 1, (3.9)
при -.
Эти n-mасимптот пересекаются в одной точке на действительной оси, координата которой определяется выражением
( ini-imi) / (n - m) (3.10)
5). Части годографа на действительной оси. Если принимает только положительные значения, то любая часть действительной оси, справа от которой располагается нечетное количество полюсов и нулей на действительной оси, является частью корневого годографа.
Если принимает только отрицательные значения, то любая часть действительной оси, справа от которой на действительно оси лежит четное число полюсов и нулей, является частью корневого годографа.
6).
Точки на действительной оси, из которых
одна ветвь корневого годографа уходит
в верхнюю полуплоскость, а сопряжённая
ей ветвь – в нижнюю или, наоборот,
приходят в эти кратные точки (кратные
корни на действительной оси), можно
найти из условия нулевого приращения
суммы аргументов в
(*),
где
слева записана разность аргументов
числителя и знаменателя передаточной
функции, при переходе от этой точки к
близкой ей, не лежащей на действительной
оси. При этом нужно учитывать знаки
приращения углов
.
7).
Точки пересечения корневого годографа
с мнимой осью могут быть найдены с
использованием одного из критериев
устойчивости. Если n
4,
то эти расчёты не вызовут трудностей,
а для систем более высокого порядка эта
часть построения годографа наиболее
трудоёмка. В этом случае можно рекомендовать
алгоритм Рауса, чрезвычайно удобный
для реализации на ЦВМ.
3.1.2.3. Пример построения корневого годографа (Пример 3.3)
Пример 3.3.
Построить корневой годограф. Пусть
система
имеет вид
Рис. 3.1. Пример системы
т.о.
1).
Естественно, что
.
2).
По свойству 2 при
полюсы замкнутой системы совпадают с
полюсами разомкнутой системы и годограф
берёт начало в 0, -1, -2.
3). По свойствам 3, 4 определим асимптоты при n=3;m=0.
Имеются три асимптоты (3.8)
.
Точка пересечения асимптот по (3.10)
4).
В соответствии с свойством 5 части
действительной оси Im=0
- части корневого годографа при
.
Рис.3.2. Пример годографа для системы 3-го порядка
5).
По свойству 6 при
имеем
6). По свойству 7 имеем
следовательно
.
Отсюда
видно, что при
система теряет устойчивость.