2.5.2.4. Иллюстративный пример (Пример2.8)

Рис. 2.8. Пример переноса узла через линейную систему против хода сигнала (а)→(b); сумматора через линейную систему по ходу сигнала (b)→(c).

2.6. Анализ устойчивости систем управления (Лекция 8)

2.6.1. Определение устойчивости систем

2.6.1.1. Номинальное состояние и понятие устойчивости

Рис. 2.9. Иллюстрация понятия устойчивости: вариант а) соответствует устойчивому состоянию шарика, б) – неустойчивому, в) – безразличному.

Такое интуитивное представление устойчивости достаточно наглядно и понятно, но оно не позволяет синтезировать формальные методы анализа устойчивости, которые должны быть доказательными и, следовательно, базироваться на математических методах.

При теоретическом анализе устойчивости объектов исследуются математические уравнения, описывающие законы их движения. Мы используем один вид объектов, движение которых описывается дифференциальными уравнениями. Ниже при кратком рассмотрении дискретных систем будут отмечены условия их устойчивости.

Пусть движение объекта описывается уравнением:

(t) =f(x(t),u(t),t) (2.51)

При анализе устойчивости исследуется поведение решения уравнения (2.51) при t®¥.

Пусть u(t) =const= 0 – анализируется поведение уравнения без внешних воздействий, когда уравнение имеет вид:

(t) =f(x(t),t). (2.52)

Пусть имеется некоторое номинальное состояние х₀(t), соответствующее решению уравнения

(t) =f(x₀(t),t). (2.53)

Устойчивость определяется через уклонение решения от номинального состояния, получающееся в результате изменения начального состояния.

2.6.1.2. Определения устойчивости решений

Определение 1. Пусть есть уравнение (2.52) с номинальным решением x₀(t). Номинальное решение уравнения (2.52) являетсяустойчивым в смысле Ляпунова А.М., если для"t₀и"e>0существует d(e, t₀)>0 такое, что при || x(t₀) - x₀(t₀)||£d удовлетворяется неравенство ||x(t) - x₀(t)||<e"t³t₀. Здесь || x || - норма вектора х, равная корню квадратному из суммы квадратов компонент. Это слабая устойчивость.

Определение 2. Номинальное решение уравнение (2.52) является асимптотически устойчивым, если:

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова;

б) "t₀$такое r(t₀)>0, что в случае ||x(t₀) - x₀(t₀)||<r имеем ||x(t) - x₀(t)||®0 при t®¥.

Определение 3. Номинальное решение уравнения (2.52) является асимптотически устойчивым в целом (большом), если:

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова;

б)"x(t­₀) и"t₀имеет место ||x(t) - x₀(t)||®0 при t®¥(2.54)

2.6.1.3. Устойчивость линейных дифференциальных систем

Для линейных систем устойчивость уравнений совпадает с устойчивостью систем.

Определение 4. Линейная дифференциальная система

(t) =A(t)x(t)

устойчива в определенном смысле (по Ляпунову, асимптотически, в целом) если её тривиальное решение x₀(t) = 0 устойчиво в этом смысле.

2.6.1.4. Пример смесительного бака (Пример2. 9)

Дан смесительный бак (Пример 2.1). Его однородное уравнение:

т.к. θ>0 система асимптотически устойчива, более того т.к. она сходится к положению равновесия экспоненциально, то она экспоненциально устойчива.

2.6.2. Устойчивость линейных стационарных систем

2.6.2.1. Представление реакции системы с различными собственными числами

Рассмотрим систему

(t) =Ax(t) (2.55)

Теорема 1. Пусть А - n´n матрица, l₁ ,l₂, l₃,..., l_nеё различные характеристические числа, а e₁, e₂, ..., e_nсоответствующие собственные векторы.

Определим n´n матрицы T = (e₁, e₂,..., e_n), (2.56)

L= diag ( l₁, l₂,..., l_n) (2.57)

тогда Т не особая и А может быть представлена в виде

А = ТLТ^-1(2.58)

Говорят, что в этом случае Т диагонализирует А.

Формулу (2.58) можно также записать в виде TА Т^-1= l

Кроме того имеет место факт а) e ^At= T e ^ltT^-1 , (2.59)

б) e ^lt = diag (e ^lt , e^lt , ...., e ^lt ) . (2.60)

Теорема 2. Имеем систему (2.55) , где А удовлетворяет условиям теоремы 1. Запишем Т^-1в виде

(2.61)

где f_iстроки из собственных векторов. Тогда решение (2.55) при t₀=0 может быть записано в виде

x(t) =å_iⁿe^lite_if_ix(0), или обозначив скалярные произведенияf_ix(0) = m_i, то решение можно записать в виде

x(t) = å_iⁿ m_i e ^lit e_i (2.62)

Отсюда видно, что реакция системы может быть представлена в виде комбинации движений по собственным векторам матрицы А. Такое движение называется модой системы. Каждая мода имеет соответствующие компоненты по собственным векторам и возбуждается соответствующим начальным условием. Диагонализация упрощает определение реакции системы.