2.3.2.3.Простейший пример определения резольвенты (Пример п2.2)

Пример П2.2. Для условий примера П2.1 - смесительный бак было найдено матрично-векторное уравнение для состояний (П1.12) и выходных величин (П1.15) в виде:

, (П2.1)

. (П2.2)

Вследствие простоты здесь резольвента может быть вычислена непосредственно по формуле Ф(p) = (pI - A)^-1. Действительно,

(pI - A) = , adj (pI - A) =,

Ф(р) = (pI - A)^-1 = .(П2.3)

Передаточная матрица определяется по резольвенте и матрицам из (П2.1) и (П2.2) в виде

.

Выполнив перемножения матриц, получим матричную передаточную функцию

H(p). (П2.4)

Если подставить численные значения, то получим

, . (П2.5)

2.3.2.4. Метод Фаддеевой (Сурье )определения резольвенты

Резольвенты для систем большой размерности можно определять следуя разработанным для этой цели алгоритмам. Один из них состоит в следующем. Пусть А - n´n матрица с постоянными параметрами, имеющая характеристический полином det(pI-A) = pⁿ + a_n-1 p^n-1 + ... + a₁p + a₀. Её резольвента Ф(p) может быть записана в виде

, (a)

где ,i=1,2…n,

Для определения R_i, i = 1,2,....,n может быть использован следующий алгоритм.

Пусть

a_n = 1 , R_n = 1,

тогда . (б)

Здесь- след матрицыМ.

R_n-k = a_n-kI + AR _n-k+1, k = 1, 2, ,...., n, (в)

при k = n должно быть R₀ = 0.

Это метод Сурье или Фаддеевой, который следует из алгоритма Леверье.

Условие R₀ = 0 может быть использовано для проверки. Существуют и другие методы. Например, следствие из теоремы Кели-Гамильтона (каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению) и др.

2.3.2.5. Пример применения метода Фаддеевой (Пример 2.3)

Пример П2.3: дана система

Найти Ф(p).

Решение:

Способ №1 (непосредственное вычисление).

, т.к. , тогда

, ,

;

Способ №2 (метод Сурье).

n=2, k=1, α₂ ,

α₁,

.

α₀,

.

.

2.4. Частотные характеристики (функции) систем (Лекция 6)

2.4.1. Частотная переходная функция

2.4.1.1. Напоминание о представлении комплексных чисел

Частотные характеристики характеризуют зависимость реакции системы от частоты периодического входного воздействия. Зависимость от частоты может характеризоваться изменением амплитуды и фазы входного сигнала. Для представления этих двух важнейших характеристик удобно использовать комплексные числа, которые, как известно, содержат в себе обе эти характеристики.

Поэтому вспомним формы представления комплексных чисел и используемые при этом термины. Из курса математики известно, что любое комплексное число имеет вид:

z = a + jb,

где a=Re z – его действительная часть (от латинского Realis -действительный),

b=Im z – его мнимая часть (от латинского Imaginarias - мнимый).

На комплексной плоскости комплексное число представляется в виде, показанном на рис. 2.2, где a и b – действительная и мнимая части числа, A – его модуль, а φ – аргумент.

Рис. 2.2. Представление числа на комплексной плоскости

Комплексное число можно представить также в показательной и тригонометрической форме:

z = A(z)e^{jarg z} = A(z) (cos j + j sin j),

где A(z) = - модуль комплексного числа, который в теории управления называется

амплитудой;

arg z = arctg b/a = φ – аргумент, который в теории управления называется фазой.

Выражения тригонометрических функций через показательные можно получить с помощью формул Эйлера:

cos φ = (e^jφ + e^{- jφ}) /2, sin φ = (e^jφ - e^{- jφ}) /2j.