2.2.1.5. Весовая и переходная матрицы системы

Выходные величины алгебраически выражаются через состояния уравнением (2.5): y(t) = C(t)x(t) , t³t_0. Подставим в него решение для состояний (2.12), получаем зависимость значений вектора выходных величин от начальных состояний и входных воздействий:

. (2.13)

В (2.13), как и в (2.12) два слагаемых. Первое отражает влияние на значение выхода в текущий момент времени t начальных значений состояний x(t₀), а второе – влияние входного воздействия w(τ) на временном интервале τ[t₀, t].

Пусть x(t₀) = 0, тогда

,

K (t,τ) = C(t) Ф (t, τ) B(τ), t ³ t₀ . (2.14)

K(t, τ) представляет собой матричную импульсную или весовую функцию. Её элементы k_nm(t,τ) характеризуют реакцию выхода y_n(t) системы на вход w_m(τ).

Важное значение имеет интегральная характеристика, показывающая интегральную накопленную реакцию выхода на ступенчатую функцию, поданную на вход в момент времени t. Она называется матричной переходной функцией системы и определяется в виде интеграла от весовой функции:

, . (2.15)

Элемент s_nm (t, τ) характеризует интегральную реакцию выхода y_n(t) на ступенчатую единичную функцию, поданную на вход m в момент времени τ: w_m(τ) = 1.

Импульсная (весовая) и переходная функции являются важнейшими временными характеристиками системы, по которым можно судить о поведении системы и ее качестве. Разумеется, что для скалярной системы они будут скалярными функциями, а для матричной (многомерной) матричными, но последнее равносильно множеству характеристик, записанных отдельно для всевозможных сочетаний входов и выходов системы.

2.2.2. Линейные стационарные системы

2.2.2.1. Фундаментальная матрица стационарной линейной системы

До сих пор в этом параграфе говорилось о линейных нестационарных системах общего вида. Если ограничиться классом только стационарных систем, то результаты упростятся.

Стационарная система (с постоянными параметрами) (1.11) имеет вместо функциональных числовые матрицы:

= Ax(t) + Bw(t),

поэтому её решение (фундаментальная матрица) представляет собой матричную экспоненту ,

и выражения (2.12), (2.13) принимают более простой вид:

, (2.16)

, (2.17)

Матричная экспонента вычисляется по обычной формуле разложения экспоненциальной функции в ряд. Только вместо степеней скалярного показателя используются степени матрицы, которые при вычислении на компьютере рекуррентной процедурой.

2.2.2.2. Весовая и переходная матрицы стационарной системы

Весовая и переходная матрицы стационарной системы получаются так же, как и для нестационарной. Сопоставление (2.13) и (2.17) с учетом определений (2.14) и (2.15) позволяет получить их в виде:

(2.18)

Так как входящие в них матрицы постоянные (числовые), то они зависят только от сдвига времени (t – τ).

2.3. Передаточная функция (Лекция 5)

2.3.1. Некоторые операторы

2.3.1.1. Дифференциальный оператор

Из дисциплин математического блока известно, что существуют операторные методы описания и преобразования математических функций и уравнений. Часто для сокращения записи используется оператор дифференцирования D. Умножение на этот оператор функции равносильно (обозначает) её дифференцирование по времени:

@,@,...,@.

Его использование позволяет записать громоздкие выражения в достаточно компактной форме. Например, линейные дифференциальные уравнения, часто используемые в теории автоматического регулирования, вида:

a _n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀x = b_m +

+b_m-1+ .... +b₁+b₀w (2.19)

могут быть компактно записаны в виде:

a (D) x(t) = b (D) w(t), (2.20)

где a (D) @ a_n Dⁿ + a_n-1 D^n-1 + ... + a₁ D + a₀,

b (D) @b_m D^m + b_m-1D ^m-1 + .... +b₁D+b₀.

Применение оператора D изменяет форму записи без преобразования исходных операндов записи.