2.2.1.2. Решение однородного уравнения

Однородное уравнение из (2.4) имеет вид:

. (2.6)

Общее решение однородного уравнения (2.6) может быть определено в виде:

x₀(t) = Ф(t,t₀) x(t₀), (2.7)

где х_О(t) – обозначено общее решение,

- начальные условия, которые должны быть заданы,

Ф(t,t₀) – фундаментальная матрица, которая в соответствии с (2.6), (2.7) должна удовлетворять уравнениям:

(2.8)

Из (2.8) видно, что фундаментальная матрица является функциональной, т.е. её элементами являются функции φ_ij(t,t­₀), i,j = 1, 2, … , n, где n – порядок системы (матрицы А(t)). Практически, используя (2.8) непосредственно, найти решение, т.е. функции φ_ij(t,t­₀), i,j = 1, 2, … , n, не представляется возможным и для определения фундаментальной матрицы используются специальные методы. Однако в простейших случаях это возможно и будет показано ниже.

2.2.1.3. Решение неоднородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения (2.4) может быть определено в виде:

x_ч (t) = Ф(t,t₀) v(t), (2.9)

где v(t) - неизвестная функция, которую следует определить так, чтобы удовлетворялось (2.4). Подставив (2.9) в (2.4), получаем:

dx_ч (t)/dt = v(t) + Ф(t,t₀), далее, раскрывая левую часть имеем:

A(t) Ф(t,t₀)v(t) + Ф(t,t₀) = A(t) Ф(t,t₀)v(t) + B(t) w(t),

откуда

= Ф^-1(t,t₀) B(t) w(t),

v(t) = . (2.10)

Заметим, что т.к. в (2.10) t становится верхним пределом интеграла, то переменная интегрирования под знаком интеграла обозначена другой буквой.

Подставив (2.10) в (2.9), получаем окончательное выражение частного решения (2.4) в виде:

. (2.11)

Общее решение векторно-матричного уравнения (2.4) представляет сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного x(t) = x₀(t) + x_ч(t). В результате имеем:

. (2.12а)

2.2.1.4. Фундаментальная матрица системы и её свойства

Фундаментальная матрица Ф(t,t₀) обладает свойствами:

а) Ф(t₂,t₁)Ф(t₁,t₀) = Ф(t₂,t₀), " t₀, t₁,t_2,

б) | Ф(t,t₀) | ¹ 0, " t₀, t,

в) Ф(t,t₀) =, " t₀, t,

г) = -A_‑^T(t) Ф^T(t₀,t). " t₀, t.

В (2.12а) матрица перед интегралом Ф(t, t₀) не зависит от τ и её как константу можно внести под знак интеграла и далее, используя свойства в) и а), имеем

Φ(t,t₀)Φ^-1(τ,t₀)=Φ(t,t₀)Ф(t₀,τ)=Φ(t,τ).

В результате (3.12а) приводится к виду:

, (2.12)

где первое слагаемое отражает влияние начального состояния на текущее и отображает переходной процесс, а второе – отражает влияние входных воздействий, поданных в момент t₀, на состояния в момент t.

Ф(t,t₀) - фундаментальная матрица системы. Её элементы – переходные функции φ_ij(t,t₀). Они отражают влияние x_j(t₀) – начального значения j-го состояния на x_i(t) – значение i-го состояния в текущий момент t. На ее основе получаются другие временные характеристики системы: импульсная и переходная функции системы.